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复变函数论 Complex Analysis
第一篇复数与复变函数
历史知识 —— 虚数史话
历史知识 —— 虚数史话
日期:
2023-11-18 08:38
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- 1545 年, 卡尔丹第一个认真地讨论了虚数, 他在《大术》中求解这样的问题: 两数的和是 10 , 积是 40 , 求这两数.卡尔丹发现只要把 10 分成 $5-\sqrt{-15}$ 和 $5+\sqrt{-15}$ 即可。 - 卡尔丹称它们为 “虚构的量” 或 “论辩的量” 。他还把它们与负数统称为 “虚伪数” ; 把正数称为 “证实数” 。 - 卡尔丹的这种处理, 遭到了当时的代数学权威韦达和他的学生哈里奥特的责难。 整个十七世纪, 很少有人理睬这种 “虚构的量” 。仅有极少数的数学家对其存在性问题争论不休。 1632 年, 笛卡尔在 《几何学》中首先把这种 “虚构的量”改称为 “虚数” , 与 “实数” 相对应。同时, 还给出了如今意义下的 “复数” 的名称。 ○到了十八世纪, 虚数才开始被关注起来。 $\bullet 1722$ 年, 法国数学家德摩佛给出德摩佛定理: $$ (\cos \theta+\sqrt{-1} \sin \theta)^n=\cos n \theta+\sqrt{-1} \sin n \theta, $$ 其中 $n$ 是大于零的整数。 $\circ 1748$ 年, 欧拉给出了著名的公式: $$ \mathrm{e}^{\sqrt{-1} x}=\cos x+\sqrt{-1} \sin x, $$ 并证明了德摩佛定理对 $n$ 是实数时也成立。 -1777 年, 欧拉在递交给彼德堡科学院的论文《微分公式》中首次使用 $i$ 来表示 $\sqrt{-1}$. -十八世纪末, 高斯的出现使得复数的地位被确立下来。 - 1797 年, 当时年仅 20 岁的高斯在他的博士论文中证明了代数基本定理。即 任何多项式在复数域里必有根,而且 $\boldsymbol{n}$ 次多项式恰好有 $\boldsymbol{n}$ 个根。 - 高斯在证明中巧妙地给出了复数的几何表示, 使得人们直观地理解了复数的真实意义。 -十九世纪中叶以后, 复变函数论开始形成, 并逐渐发展成为一个庞大的数学分支。
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