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复变函数论 Complex Analysis
第一篇复数与复变函数
复数的几何表示
复数的几何表示
日期:
2023-11-18 09:13
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**1. 复平面** 定义 在平面上建立一个直角坐标系, 用坐标为 $(x, y)$ 的点来表示复数 $z=x+i y$, 从而将全体复数和平面上的全部点一一对应起来, 这样表示复数 $\boldsymbol{z}$ 的平面称为复平面或者 $z$ 平面。此时, $x$ 轴称为实轴, $y$ 轴称为虚轴。  - 在复平面上, 从原点到点 $z=x+i y$所引的向量与该复数 $z$ 也构成一一对应关系 (复数零对应零向量)。  ○引进复平面后, 复数 $z$ 与点 $z$ 以及向量 $z$ 视为同一个概念。 - 比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。 - -  **复数的模与辐角** ○将复数和向量对应之后, 除了利用实部与虚部来给定一个复数以外,还可以借助向量的长度与方向来给定一个复数。 定义 设 $z$ 的是一个不为 0 的复数, (1) 向量 $z$ 的长度 $r$ 称为复数 $z$ 的模, 记为 $|z|$. (2) 向量 $z$ 的 “方向角” $\theta$ 称为复数 $z$ 的辐角, 记为 $\operatorname{Arg} z$.  **两点说明** (1) 辐角是多值的, 相互之间可相差 $2 k \pi$, 其中 $k$ 为整数。 (2) 辐角的符号约定为: 逆时针取正号，顺时针取负号。 例如 对于复数 $z=-1+i$, 则有 $|z|=\sqrt{2}$, $$ \operatorname{Arg} z=\frac{3 \pi}{4}+2 k \pi, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \cdots . $$ 注 复数 0 的模为 0 ，辐角无意义。  **主辐角** 对于给定的复数 $z \neq 0$, 设有 $\alpha$ 满足: $$ \alpha \in \operatorname{Arg} z \text { 且 }-\pi<\alpha \leq \pi, $$ 则称 $\alpha$ 为复数 $z$ 的主辐角, 记作 $\arg z$. ○由此就有如下关系: $$ \operatorname{Arg} z=\arg z+2 k \pi, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \cdots . $$ **例** 求复数 $z=\frac{2 i}{1-i}+\frac{2(1-i)}{i}$ 的模与主辐角。 $$ \begin{gathered} \text { 解 } z=\frac{2 i}{1-i}+\frac{2(1-i)}{i}=-3-i . \\ |z|=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2}=\sqrt{10} \\ \arg z=\arctan \left(\frac{-1}{-3}\right)-\pi \\ =\arctan \frac{1}{3}-\pi \end{gathered} $$  **相互转换关系** (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。 $$ |z|=\sqrt{x^2+y^2} ; $$ $$ \arg z= \begin{cases}\arctan (y / x), & x>0, y \text { 任意, } \\ \arctan (y / x)+\pi, & x<0, y \geq 0, \\ \arctan (y / x)-\pi, & x<0, y<0, \\ \pi / 2, & x=0, y>0, \\ -\pi / 2, & x=0, y<0 .\end{cases} $$  (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。 (2) 已知模与辐角，求实部与虚部。 $$ \begin{aligned} & x=|z| \cos (\arg z)=|z| \cos (\operatorname{Arg} z) ; \\ & y=|z| \sin (\arg z)=|z| \sin (\operatorname{Arg} z) . \end{aligned} $$ ○由此引出复数的三角表示式。
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