复数的三角表示和指数表示

日期: 2023-11-18 09:17 查看: 9 次更新导出Word

1. 复数的三角表示

如图,
![图片](/uploads/2023-11/image_20231118935e64d.png)

由

$$
\begin{aligned}
x & =r \cos \theta, y=r \sin \theta, \\
\text { 有 } z & =r \cos \theta+i r \sin \theta \\
& =r(\cos \theta+i \sin \theta) .
\end{aligned}
$$

**定义**
设复数 $z \neq 0, r$ 是 $z$ 的模, $\theta$ 是 $z$ 的任意一个辐角,称 $z=r(\cos \theta+i \sin \theta)$ 为复数 $z$ 的三角表示式。

**复数的指数表示**

- 利用欧拉公式 $\mathrm{e}^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$ 得

$$
z=r(\cos \theta+i \sin \theta)=r \mathrm{e}^{i \theta} .
$$

定义 设复数 $z \neq 0, r$ 是 $z$ 的模, $\theta$ 是 $z$ 的任意一个辐角,称 $z=r \mathrm{e}^{i \theta}$ 为复数 $z$ 的指数表示式。

注 在复数的三角表示式与指数表示式中, 辐角不是唯一的,但习惯上一般取为主辐角。

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**例** 写出复数 $z=-\sqrt{12}+2 i$ 的三角表示式与指数表示式。
解 $|z|=\sqrt{12+4}=4$,

$$
\begin{aligned}
\arg z & =\arctan \left(\frac{2}{-\sqrt{12}}\right)+\pi \\
& =-\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}+\pi \\
& =-\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{5 \pi}{6} .
\end{aligned}
$$

复数 $z$ 的三角表示式为 $z=4\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+i \sin \frac{5 \pi}{6}\right)$.复数 $z$ 的指数表示式为 $z=4 \mathrm{e}^{\frac{5 \pi}{6} i}$.

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