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复变函数论
第一篇复数与复变函数
复数的三角表示和指数表示
日期:
2023-11-18 09:17
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复数的三角表示和指数表示
1. 复数的三角表示 如图, ![图片](/uploads/2023-11/image_20231118935e64d.png) 由 $$ \begin{aligned} x & =r \cos \theta, y=r \sin \theta, \\ \text { 有 } z & =r \cos \theta+i r \sin \theta \\ & =r(\cos \theta+i \sin \theta) . \end{aligned} $$ **定义** 设复数 $z \neq 0, r$ 是 $z$ 的模, $\theta$ 是 $z$ 的任意一个辐角,称 $z=r(\cos \theta+i \sin \theta)$ 为复数 $z$ 的三角表示式。 **复数的指数表示** - 利用欧拉公式 $\mathrm{e}^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$ 得 $$ z=r(\cos \theta+i \sin \theta)=r \mathrm{e}^{i \theta} . $$ 定义 设复数 $z \neq 0, r$ 是 $z$ 的模, $\theta$ 是 $z$ 的任意一个辐角,称 $z=r \mathrm{e}^{i \theta}$ 为复数 $z$ 的指数表示式。 注 在复数的三角表示式与指数表示式中, 辐角不是唯一的,但习惯上一般取为主辐角。 ![图片](/uploads/2023-11/image_202311183576d5e.png) **例** 写出复数 $z=-\sqrt{12}+2 i$ 的三角表示式与指数表示式。 解 $|z|=\sqrt{12+4}=4$, $$ \begin{aligned} \arg z & =\arctan \left(\frac{2}{-\sqrt{12}}\right)+\pi \\ & =-\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}+\pi \\ & =-\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{5 \pi}{6} . \end{aligned} $$ 复数 $z$ 的三角表示式为 $z=4\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+i \sin \frac{5 \pi}{6}\right)$.复数 $z$ 的指数表示式为 $z=4 \mathrm{e}^{\frac{5 \pi}{6} i}$.
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