最后更新: 2025-01-11 16:36 查看: 242 次反馈刷题

复数的指数表示乘除法

## 复数的指数表示乘除法

设 $z_1=r_1 \mathrm{e}^{i \theta_1}, z_2=r_2 \mathrm{e}^{i \theta_2}$,
乘法 $z_1 \cdot z_2=r_1 \mathrm{e}^{i \theta_1} \cdot r_2 \mathrm{e}^{i \theta_2}$

$$
=r_1 r_2 \mathrm{e}^{i\left(\theta_1+\theta_2\right)} \text {. }
$$

$\operatorname{Arg}\left(z_1 \cdot z_2\right)=\operatorname{Arg} z_1+\operatorname{Arg} z_2$.

> 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;幅角等于它们幅角的和。

简单证明如下:
$$
\begin{aligned}
e^{i \theta_1} e^{i \theta_2} & =\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right)\left(\cos \theta_2+i \sin \theta_2\right) \\
& =\left(\cos \theta_1 \cos \theta_2-\sin \theta_1 \sin \theta_2\right)+i\left(\sin \theta_1 \cos \theta_2+\cos \theta_1 \sin \theta_2\right) \\
& =\cos \left(\theta_1+\theta_2\right)+i \sin \left(\theta_1+\theta_2\right)=e^{i\left(\theta_1+\theta_2\right)}
\end{aligned}
$$

## 利用指数表示复数的除法

设 $z_1=r_1 \mathrm{e}^{i \theta_1}, z_2=r_2 \mathrm{e}^{i \theta_2}$,
除法 $\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1 \mathrm{e}^{i \theta_1}}{r_2 \mathrm{e}^{i \theta_2}}=\frac{r_1}{r_2} \mathrm{e}^{i\left(\theta_1-\theta_2\right)}$.

![图片](/uploads/2023-11/image_20231118967d36f.png)

即 $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}$,

$$
\operatorname{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\operatorname{Arg} z_1-\operatorname{Arg} z_2 .
$$

> 两个复数的商的模等于它们的模的商;幅角等于它们幅角的差。

`例`计算 $\frac{i}{1-i}$.
解 由 $i=\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2} i}, 1-i=\sqrt{2} \mathrm{e}^{-\frac{\pi}{4} i}$ 有

$$
\frac{i}{1-i}=\frac{\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2} i}}{\sqrt{2} \mathrm{e}^{-\frac{\pi}{4} i}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \mathrm{e}^{\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) i}=\frac{1}{\sqrt{2}} \mathrm{e}^{\frac{3 \pi}{4} i}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i
$$

**一些“简单”复数的指数形式**

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^{2 \pi i}=1, \quad \mathrm{e}^{2 k \pi i}=1, \quad \mathrm{e}^{\pi i}=-1, \\
& \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2} i}=i, \quad \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2} i}=-i, \quad \cdots \cdots .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-11/image_202311180f6e9d4.png)

`例`计算 $(1+\sqrt{3} i)(-\sqrt{3}-i)$ 和 $\frac{1+\sqrt{3} i}{-\sqrt{3}-i}$.
解 由 $1+\sqrt{3} i=2 \mathrm{e}^{\frac{\pi}{3} i},-\sqrt{3}-i=2 \mathrm{e}^{\frac{5 \pi}{6} i}$ 有

$$
\begin{gathered}
(1+\sqrt{3} i)(-\sqrt{3}-i)=2 \mathrm{e}^{\frac{\pi}{3} i} \cdot 2 \mathrm{e}^{-\frac{5 \pi}{6} i}=4 \mathrm{e}^{\left(\frac{\pi}{3} \frac{5 \pi}{6}\right) i} \\
=4 \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2} i}=-4 i . \\
\frac{1+\sqrt{3} i}{-\sqrt{3}-i}=\frac{2 \mathrm{e}^{\frac{\pi}{3} i}}{2 \mathrm{e}^{-\frac{5 \pi}{6} i}}=\mathrm{e}^{\left(\frac{\pi}{3}+\frac{5 \pi}{6}\right) i}=\mathrm{e}^{\frac{7 \pi}{6} i} \\
=\cos \frac{7 \pi}{6}+i \sin \frac{7 \pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} i .
\end{gathered}

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