区域解析的充要条件

日期: 2023-11-18 10:27 查看: 8 次更新导出Word

定理 函数 $w=f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在区域 $D$ 内解析的充要条件是: $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 在区域 $D$ 内可微, 且满足 $\boldsymbol{C}-\boldsymbol{R}$ 方程。

推论 若函数 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 的四个偏导数 $u_x^{\prime}, u_y^{\prime}, v_x^{\prime}, v_y^{\prime}$在区域 $\boldsymbol{D}$ 内存在且连续, 并满足 $\boldsymbol{C}-\boldsymbol{R}$ 方程, 则函数 $w=f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在区域 $D$ 内解析。

例 讨论函数 $\boldsymbol{w}=\overline{\boldsymbol{z}}$ 的可导性与解析性。
解 由 $w=\bar{z}=x-i y$, 有 $u=x, v=-y$,

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial u}{\partial x}=1, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=0 \\
& \frac{\partial v}{\partial y}=-1, \quad \frac{\partial v}{\partial x}=0
\end{aligned}
$$

可知不满足 $\boldsymbol{C}-\boldsymbol{R}$ 方程,
所以 $\boldsymbol{w}=\overline{\boldsymbol{z}}$ 在复平面内处处不可导, 处处不解析。

例 讨论函数 $w=\bar{z} z^2$ 的可导性与解析性。
解 由 $w=\bar{z} z^2=|z|^2 z=\left(x^3+x y^2\right)+i\left(x^2 y+y^3\right)$,
有 $u=x^3+x y^2, v=x^2 y+y^3$,

$$
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial x}=3 x^2+y^2, \frac{\partial u}{\partial y}=2 x y, \\
\frac{\partial v}{\partial y}=x^2+3 y^2, \frac{\partial v}{\partial x}=2 x y,
\end{array}\right\} \begin{aligned}
& \text { 由 } C-R \text { 方程, } \\
& \Rightarrow x=y=0,
\end{aligned}
$$

所以 $w=\bar{z} z^2$ 仅在 $(0,0)$ 点可导, 处处不解析。

例 讨论函数 $f(z)=x^2+i y^2$ 的可导性与解析性。
解 由 $u=x^2, v=y^2$ ，有

$$
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial x}=2 x, \frac{\partial u}{\partial y}=0, \\
\frac{\partial v}{\partial y}=2 y, \frac{\partial v}{\partial x}=0,
\end{array}\right\} \begin{aligned}
& \text { 由 } C-R \text { 方程, } \\
& \Rightarrow x=y,
\end{aligned}
$$

所以 $f(z)=x^2+i y^2$ 仅在直线 $x=y$ 上可导, 处处不解析。
![图片](/uploads/2023-11/image_202311189143415.png)

例 讨论函数 $f(z)=\mathrm{e}^x(\cos y+i \sin y)$ 的可导性与解析性。

解 由 $u=\mathrm{e}^x \cos y, v=\mathrm{e}^x \sin y$, 有

$$
\left.\begin{array}{l}
u_x^{\prime}=\mathrm{e}^x \cos y, u_y^{\prime}=-\mathrm{e}^x \sin y, \\
v_y^{\prime}=\mathrm{e}^x \cos y, v_x^{\prime}=\mathrm{e}^x \sin y,
\end{array}\right\} \begin{aligned}
& \text { 四个偏导数连续, } \\
& \text { 且满足 } C-R \text { 方程, }
\end{aligned}
$$

故 $f(z)=\mathrm{e}^x(\cos y+i \sin y)$ 在全平面上处处可导,
处处解析, 且 $f^{\prime}(z)=u_x^{\prime}+i v_x^{\prime}=\mathrm{e}^x(\cos y+i \sin y)$.

注 函数 $f(z)=\mathrm{e}^x(\cos y+i \sin y)=\mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^{i y} \stackrel{\text { 记为 }}{=} \mathrm{e}^z$,

本例结果表明: $\left(\mathrm{e}^z\right)^{\prime}=\mathrm{e}^z$.

例 设函数 $f(z)=\left(x^2+A x y+B y^2\right)+i\left(C x^2+D x y+y^2\right)$,求常数 $A, B, C, D$ 的值, 使 $f(z)$ 在复平面内处处解析。

解 由 $u=x^2+A x y+B y^2, v=C x^2+D x y+y^2$, 有

$$
\begin{aligned}
& u_x^{\prime}=2 x+A y, \quad u_y^{\prime}=A x+2 B y, \\
& v_y^{\prime}=D x+2 y, \quad v_x^{\prime}=2 C x+D y,
\end{aligned}
$$

由 $C-R$ 方程可得 $2 x+A y=D x+2 y$ ，

$$
A x+2 B y=-(2 C x+D y),
$$

求解得 $A=2, B=-1, C=-1, D=2$.

例 设函数 $f(z)=u+i v$ 在某区域 $D$ 内解析, 且满足下列条件之一, 证明: $f(z)$ 在区域 $D$ 内为常数。
(1) $\overline{f(z)}$ 在 $D$ 内解析;
(2) $|f(z)|$ 在 $D$ 内为常数。

证 (1) 由 $f(z)=u+i v$ 解析, $\Rightarrow u_x^{\prime}=v_y^{\prime}, u_y^{\prime}=-v_x^{\prime}$,
由 $\overline{f(z)}=u-i v$ 解析, $\Rightarrow u_x^{\prime}=(-v)_y^{\prime}, u_y^{\prime}=-(-v)_x^{\prime}$,
$\Rightarrow u_x^{\prime}=u_y^{\prime}=v_x^{\prime}=v_y^{\prime}=0, \Rightarrow u, v$ 为常数,
即得 $f(x, y)=c$ (常数)。

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