日期: 2023-11-18 10:16 查看: 131 次编辑导出

第四篇解析函数

1. 复变函数的导数

定义 设函数 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 点的某邻域内有定义, $z_0+\Delta z$ 是 $z_0$ 的邻域内的任意一点, $\Delta w=f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)$, 如果

$$
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)}{\Delta z}
$$

存在有限的极限值 $\boldsymbol{A}$, 则称 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{z})$ 在 $\boldsymbol{z}_0$ 处可导, 且称 $\boldsymbol{A}$为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的导数, 记作 $f^{\prime}\left(z_0\right)$.

- 如果函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内的每一点都可导, 则称 $f(z)$在 $D$ 内可导, 此时即得 $f(z)$ 的导(函) 数 $f^{\prime}(z)$.

2. 复变函数的微分

定义 设函数 $w=f(z)$ 在 $z$ 点的某邻域内有定义, $z+\Delta z$ 是 $z$

$$
\Delta w=f(z+\Delta z)-f(z)=A \Delta z+o(|\Delta z|),
$$

则称 $f(z)$ 在 $z$ 处可微, $A \Delta z$ 为微分, 记作 $\mathrm{d} w=A \Delta z$.特别地, 有 $\mathbf{d} z=\Delta z$. (考虑函数 $w=f(z)=z$ 即可)

$$
\Rightarrow \mathrm{d} w=A \mathrm{~d} z \text {. }
$$

- 若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处可微, 则称 $f(z)$ 在 $D$ 内可微。 ○导数反映的是 “变化率”；而微分更能体现 “逼近” 的思想。

3. 可导与可微以及连续之间的关系
   (1) 可导 $\rightleftarrows$ 可微
   如果可导 $\Rightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=f^{\prime}(z) \Rightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w-f^{\prime}(z) \Delta z}{\Delta z}=0$
   $\Rightarrow \Delta w-f^{\prime}(z) \Delta z=o(|\Delta z|) \Rightarrow$ 可微;
   如果可微 $\Rightarrow \Delta w=A \Delta z+o(|\Delta z|) \Rightarrow \frac{\Delta w}{\Delta z}=A+\frac{o(|\Delta z|)}{\Delta z}$
   $\Rightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=A=f^{\prime}(z) \Rightarrow$ 可导。
   由此可得 $\mathrm{d} w=f^{\prime}(z) \mathrm{d} z$ 即 $f^{\prime}(z)=\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{~d} z}$.