复积分的定义

日期: 2023-11-18 11:01 查看: 9 次更新导出Word

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例题

例 估计 $\int_C \frac{\mathrm{e}^z}{z} \mathrm{~d} z$ 的模的一个上界, 其中 $C$ 如图所示。
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解

$$
\begin{aligned}
\left|\int_C \frac{\mathrm{e}^z}{z} \mathrm{~d} z\right| & \leq \int_C\left|\frac{\mathbf{e}^z}{z}\right| \mathbf{d} z \mid \\
& =\int_C \frac{\left|\mathrm{e}^z\right|}{|z|} \mathrm{d} s=\int_C\left|\mathrm{e}^x\right| \mathrm{d} s \\
& =\int_C \mathrm{e}^x \mathrm{~d} s \leq \mathrm{e} \pi
\end{aligned}
$$

例 试证 $\lim _{r \rightarrow 0} \oint_{|z|=r} \frac{z^3}{1+z^2} \mathrm{~d} z=0$.
证 不妨设 $r<1$,

$$
\begin{aligned}
0 & \leq\left|\int_{|z|=r} \frac{z^3}{1+z^2} \mathrm{~d} z\right| \leq \int_{|z|=r} \frac{|z|^3}{\left|1+z^2\right|} \mathrm{d} s \\
& \leq \int_{|z|=r} \frac{|z|^3}{\left.|1-| z\right|^2 \mid} \mathrm{d} s=\frac{2 \pi r^4}{1-r^2} \rightarrow 0,(r \rightarrow 0) .
\end{aligned}

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