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复变函数论
第五篇 复变函数的积分
复积分的定义
日期:
2023-11-18 11:01
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复积分的定义
![图片](/uploads/2023-11/image_20231118707a76b.png) ![图片](/uploads/2023-11/image_20231118aaba1a1.png) ![图片](/uploads/2023-11/image_202311180f75fb0.png) 例题 例 估计 $\int_C \frac{\mathrm{e}^z}{z} \mathrm{~d} z$ 的模的一个上界, 其中 $C$ 如图所示。 ![图片](/uploads/2023-11/image_2023111838000fe.png) 解 $$ \begin{aligned} \left|\int_C \frac{\mathrm{e}^z}{z} \mathrm{~d} z\right| & \leq \int_C\left|\frac{\mathbf{e}^z}{z}\right| \mathbf{d} z \mid \\ & =\int_C \frac{\left|\mathrm{e}^z\right|}{|z|} \mathrm{d} s=\int_C\left|\mathrm{e}^x\right| \mathrm{d} s \\ & =\int_C \mathrm{e}^x \mathrm{~d} s \leq \mathrm{e} \pi \end{aligned} $$ 例 试证 $\lim _{r \rightarrow 0} \oint_{|z|=r} \frac{z^3}{1+z^2} \mathrm{~d} z=0$. 证 不妨设 $r<1$, $$ \begin{aligned} 0 & \leq\left|\int_{|z|=r} \frac{z^3}{1+z^2} \mathrm{~d} z\right| \leq \int_{|z|=r} \frac{|z|^3}{\left|1+z^2\right|} \mathrm{d} s \\ & \leq \int_{|z|=r} \frac{|z|^3}{\left.|1-| z\right|^2 \mid} \mathrm{d} s=\frac{2 \pi r^4}{1-r^2} \rightarrow 0,(r \rightarrow 0) . \end{aligned} $$
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