科数网
学习
高中数学
高中物理
微积分
线性代数
概率论
人工智能
赞助本站
在线教程
复变函数论
第五篇 复变函数的积分
复积分的计算
日期:
2023-11-18 11:04
查看:
128
次
编辑
导出本文
复积分的计算
  例 计算 $I=\int_C z \mathrm{~d} z$, 其中 $C$ 为(如图): (1) $C=C_1+C_2$; (2) $\mathrm{C}=\mathrm{C}_3$; (3) $C=C_4$. 解 (1) 曲线 $C_1$ 的方程为 $z=x, x: 0 \rightarrow 1$,曲线 $C_2$ 的方程为 $z=1+i y, y: 0 \rightarrow 1$, $$ \begin{aligned} I & =\int_{C_1} z \mathrm{~d} z+\int_{C_2} z \mathrm{~d} z, \\ & =\int_0^1 x \mathrm{~d} x+\int_0^1(1+i y) \mathrm{d}(1+i y) \\ & =\int_0^1 x \mathrm{~d} x+\int_0^1 i(1+i y) \mathrm{d} y \\ & =\left.\frac{1}{2} x^2\right|_0 ^1+\left.\left(i y-\frac{1}{2} y^2\right)\right|_0 ^1=i . \end{aligned} $$  (2) 曲线 $C_3$ 的方程为 $z=t+i t, t: 0 \rightarrow 1$, $$ \begin{aligned} I & =\int_{C_3} z \mathrm{~d} z \\ & =\int_0^1(t+i t) \mathrm{d}(t+i t) \\ & =(1+i)(1+i) \int_0^1 t \mathrm{~d} t \\ & =\left.2 i \cdot \frac{1}{2} t^2\right|_0 ^1=i . \end{aligned} $$ (3) 曲线 $C_4$ 的方程为 $z=t^2+i t, t: 0 \rightarrow 1$, $$ \begin{aligned} I & =\int_{C_4} z \mathrm{~d} z \\ & =\int_0^1\left(t^2+i t\right) \mathrm{d}\left(t^2+i t\right) \\ & =\left.\frac{1}{2}\left(t^2+i t\right)^2\right|_0 ^1 \\ & =\frac{1}{2}(1+i)^2=i . \end{aligned} $$
上一篇：
复积分的定义
下一篇：
柯西积分公式
本文对您是否有用？
有用
(
0
)
无用
(
0
)
赞助我们
0
篇笔记
写笔记
更多笔记
提交笔记