复积分的计算

日期: 2023-11-18 11:04 查看: 8 次更新导出Word

![图片](/uploads/2023-11/image_20231118297920f.png)
![图片](/uploads/2023-11/image_20231118fcde9cf.png)

例 计算 $I=\int_C z \mathrm{~d} z$, 其中 $C$ 为(如图):
(1) $C=C_1+C_2$;
(2) $\mathrm{C}=\mathrm{C}_3$;
(3) $C=C_4$.

解 (1) 曲线 $C_1$ 的方程为 $z=x, x: 0 \rightarrow 1$,曲线 $C_2$ 的方程为 $z=1+i y, y: 0 \rightarrow 1$,

$$
\begin{aligned}
I & =\int_{C_1} z \mathrm{~d} z+\int_{C_2} z \mathrm{~d} z, \\
& =\int_0^1 x \mathrm{~d} x+\int_0^1(1+i y) \mathrm{d}(1+i y) \\
& =\int_0^1 x \mathrm{~d} x+\int_0^1 i(1+i y) \mathrm{d} y \\
& =\left.\frac{1}{2} x^2\right|_0 ^1+\left.\left(i y-\frac{1}{2} y^2\right)\right|_0 ^1=i .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-11/image_20231118f24e8c2.png)
(2) 曲线 $C_3$ 的方程为 $z=t+i t, t: 0 \rightarrow 1$,

$$
\begin{aligned}
I & =\int_{C_3} z \mathrm{~d} z \\
& =\int_0^1(t+i t) \mathrm{d}(t+i t) \\
& =(1+i)(1+i) \int_0^1 t \mathrm{~d} t \\
& =\left.2 i \cdot \frac{1}{2} t^2\right|_0 ^1=i .
\end{aligned}
$$

(3) 曲线 $C_4$ 的方程为 $z=t^2+i t, t: 0 \rightarrow 1$,

$$
\begin{aligned}
I & =\int_{C_4} z \mathrm{~d} z \\
& =\int_0^1\left(t^2+i t\right) \mathrm{d}\left(t^2+i t\right) \\
& =\left.\frac{1}{2}\left(t^2+i t\right)^2\right|_0 ^1 \\
& =\frac{1}{2}(1+i)^2=i .
\end{aligned}

上一篇：复积分的定义

下一篇：柯西积分公式

知识库是科数网倾心打造的大型数学知识网站，欢迎各位老师、数学爱好者加入,联系微信 18155261033，制作不易，也欢迎赞助本站。