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复变函数论 Complex Analysis
第十篇 拉普拉斯变换
Laplace变换的引入
Laplace变换的引入
日期:
2023-11-18 14:32
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一、Laplace变换的引入 1. Fourier变换的 “局限性”？ - 当函数 $f(t)$ 满足 Dirichlet 条件, 且在 $(-\infty,+\infty)$ 上绝对可积时, 便可以进行古典意义下的 Fourier变换。 - 由于绝对可积是一个相当强的条件，使得一些简单函数 (如常数函数、线性函数、正弦函数与余弦函数等等) 的 Fourier 变换也受到限制。 - 广义 Fourier变换的引入, 扩大了古典 Fourier 变换的适用范围, 使得 “缓增” 函数也能进行 Fourier变换, 而且将周期函数的 Fourier 级数与 Fourier 变换统一起来。 - 广义Fourier 变换对以指数级增长的函数如 $\mathrm{e}^{a t}(a>0)$ 等仍然无能为力; 而且在变换式中出现冲激函数，也使人感到不太满意。 - 在工程实际问题中, 许多以时间 $t$ 为自变量的函数 (比如起始时刻为零的因果信号等) 在 $\boldsymbol{t}<\mathbf{0}$ 时为零, 而有些甚至在 $\boldsymbol{t}<\mathbf{0}$ 时根本没有意义。 - 因此在对这些函数进行 Fourier 变换时，没有必要(或者不可能)在整个实轴上进行。  
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