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复变函数与积分变换
第十篇 拉普拉斯变换
Laplace 变换的定义
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2023-11-18 14:33
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Laplace 变换的定义
Laplace 变换的定义   - 从上述例子可以看出 (1) 即使函数以指数级增长，其 Laplace 变换仍然存在; (2) 即使函数不同，但其 Laplace 变换的结果可能相同。 问题 (1) 到底哪些函数存在 Laplace 变换呢? 若存在, 收玫域(或者存在域)如何? 有何特点? (2) Laplace 逆变换如何做? 是否惟一? 三、存在性定理 定理 设函数 $f(t)$ 当 $t \geq 0$ 时, 满足: (1) 在任何有限区间上分段连续; (2) 具有有限的增长性, 即存在常数 $c$ 及 $M>0$, 使得 $|f(t)| \leq M \mathrm{e}^{c t}$, (其中, $c$ 称为函数 $f(t)$ 的 “增长” 指数)。 则象函数 $\boldsymbol{F}(s)$ 在半平面 $\operatorname{Re} s>c$ 上一定存在且解析。证明 (略) - 两点说明 (1) 像函数 $F(s)$ 的存在域一般是一个右半平面 $\operatorname{Re} s>c$,即只要复数 $s$ 的实部足够大就可以了。 - 因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域，只有在非常必要时才特别注明。 (2) 在 Laplace 变换中的函数一般均约定在 $\boldsymbol{t}<0$ 时为零,即函数 $f(t)$ 等价于函数 $f(t) u(t)$. ○比如 $\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}\right]=1$.
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