日期: 2023-11-29 14:48 查看: 121 次编辑导出

伽马函数

## 背景

1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16.....可以用通项公式n²自然的表达，即便 n 为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x²通过所有的整数点(n,n²),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,...,我们可以计算2!,3!,是否可以计算2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
因此，有一个问题分数的阶乘是多少

## 定义

伽玛函数在自然科学的应用里有非常重要的作用，所以单独提取出来对他的介绍。

伽玛函数 (Gamma Function) 作为阶乘函数的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成 $\Gamma(x)$ ，负整数和 0 是它的一阶极点。
（1）在实数域上伽玛函数定义为:

$$
\Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \mathrm{~d} t(x>0)
$$

（2）在复数域上伽玛函数定义为:

$$
\Gamma(z)=\int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} \mathrm{~d} t
$$

其中$Re(z)>0$，此定义可以用解析延拓原理拓展到整个复数域上，非正整数除外。

![图片](/uploads/2023-11/2a04b1.jpg)

## $\psi$ 函数的定义

$$
\psi(z)=\Gamma^{\prime}(z) / \Gamma(z),
$$

## $\dfrac {1} {2}!$ 是多少?

在高中，我们学过了阶乘，其定义为 $ n!= 1 *2*3 \cdot \cdot \cdot n$, 这里$n$为0或者正整数，其中规定 $0!=1$,  例如 $5!=1*2*3*4*5=120$ ,  那么你知道 $(\dfrac{1}{2})!$ 是多少吗？

![图片](/uploads/2023-11/52d49c.jpg)

现在，我们对伽玛函数做一个递推

$$
\Gamma(n+1)=\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{n+1-1} \mathrm{~d} x=\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^n \mathrm{~d} x
$$

我们用分部积分法来计算这个积分:

$$
\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^n \mathrm{~d} x=\left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^{\infty}+n \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{n-1} \mathrm{~d} x
$$

当 $x=0$ 时， $\frac{-0^n}{\mathrm{e}^0}=\frac{0}{1}=0$ 。当 $x$ 趋于无穷大时，根据洛必达法则，有:

$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-n ! \cdot 0}{\mathrm{e}^x}=0 .
$$

因此第一项 $\left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^{\infty}$ 变成了零，所以:

$$
\Gamma(n+1)=n \int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x
$$

等式的右面正好是 $n \Gamma(n)$ ， 因此，递推公式为:

$$
\Gamma(n+1)=n \Gamma(n) .
$$

容易计算
$\Gamma(1)=1$
$\Gamma(2)=2!$
$\Gamma(3)=3!$
$\Gamma(4)=4!$

事实上

$$
\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2 n) ! \sqrt{\pi}}{n ! 4^n}
$$

取 $n=0$,

$$
\left(\frac{1}{2}\right) !=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
$$

我们可以得到一个公式：

$$
\begin{gathered}
\Gamma(1)=1 \\
n !=\Gamma(n+1) . \\
n ! != \begin{cases}2^{\frac{1}{2} n} \Gamma\left(\frac{1}{2} n+1\right), & n \text { even }, \\
\pi^{-\frac{1}{2}} 2^{\frac{1}{2} n+\frac{1}{2}} \Gamma\left(\frac{1}{2} n+1\right), & n \text { odd. }\end{cases}
\end{gathered}
$$

当参数是实数时，$y=\Gamma(x)$其图像

![图片](/uploads/2023-11/image_20231109e795564.png)

当取自然对数时，$y=ln \Gamma(x)$其图像
![图片](/uploads/2023-11/image_20231109f3458c9.png)

$\Psi  $ 函数图形

![图片](/uploads/2023-11/image_202311099a0eb43.png)

$|\Gamma(x+iy)|$图像

![图片](/uploads/2023-11/image_202311099069255.png)

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