最后更新: 2023-11-29 15:03 查看: 323 次反馈刷题

超几何函数

## 定义

超几何函数 $F(a, b ; c ; z)$ 是由高斯级数给出，定义Wie
15.2.1

$$
\begin{aligned}
F(a, b ; c ; z) & =\sum_{s=0}^{\infty} \frac{(a)_s(b)_s}{(c)_s s !} z^s=1+\frac{a b}{c} z+\frac{a(a+1) b(b+1)}{c(c+1) 2 !} z^2+\cdots \\
& =\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} \sum_{s=0}^{\infty} \frac{\Gamma(a+s) \Gamma(b+s)}{\Gamma(c+s) s !} z^s
\end{aligned}
$$

$|z|<1$, 并通过其他地方的解析延拓。总的来说, $F(a, b ; c ; z)$ 不存在于何时 $c=0,-1,-2, \ldots$ 从 $\cdots$ 上切下的枝条 1 到 $+\infty$ 在现实中 $z$-轴, 即部门中的分支 $|\mathrm{ph}(1-z)| \leq \pi$, 是主枝 (或者主值) 的 $F(a, b ; c ; z)$.

## 介绍

首先，我们定义超几何级数是如下形式的级数:

$$
\mathrm{F}(\alpha, \beta, \gamma, z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{n !(\gamma)_n} z^n,|z|<1
$$

特别的，规定 $\mathrm{F}(\alpha, \beta, \gamma, 0)=1$ 。超几何级数可以解析延拓至全复平面（可能除去 $z=1,+\infty$ 两点)，此时称其为超几何函数，我们依然用上述符号来表示。

设 $m, n, l \in \mathbb{Z}$ ，称函数 $\mathrm{F}(\alpha+l, \beta+m, \gamma+n, z)$ 为超几何函数 $\mathrm{F}(\alpha, \beta, \gamma, z)$ 的连带函数。我们很容易可以得到递推关系如下:

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} \mathrm{~F}(\alpha, \beta, \gamma, z)=\frac{\alpha \beta}{\gamma} \mathrm{F}(\alpha+1, \beta+1, \gamma+1, z)
$$

还可以把这个递推关系推广，即:

$$
\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{~d} z^n} \mathrm{~F}(\alpha, \beta, \gamma, z)=\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma)_n} \mathrm{~F}(\alpha+n, \beta+n, \gamma+n, z)
$$

我们还可以在单位圆中把超几何函数表示为:

$$
\mathrm{F}(\alpha, \beta, \gamma, z)=\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\mathrm{G}(n)}{n !} z^n
$$

其中函数 $\mathrm{G}(n)=\frac{\Gamma(\alpha+n) \Gamma(\beta+n)}{\Gamma(\gamma+n)}$ 。

如果 $\alpha, \beta$ 非负，那么做半圆围道可以得到:

$$
\begin{aligned}
\mathrm{F}(\alpha, \beta, \gamma, z) & =\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \sum_{s=0, n=0}^{+\infty} \operatorname{Res}\left\{-\mathrm{G}(s) \Gamma(-s)(-z)^s\right\} \\
& =\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_C \mathrm{G}(s) \Gamma(-s)(-z)^s \mathrm{~d} s
\end{aligned}
$$

我们容易得到:

$$
\mathrm{F}(\alpha, \beta, \gamma, z)=\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Gamma(\alpha+s) \Gamma(\beta+s)}{\Gamma(\gamma+s)} \Gamma(-s)(-z)^s \mathrm{~d} s
$$

这就是超几何函数的Barnes积分表示。

我们还可以定义 $n-$ 超几何多项式 (又称为 $n$ 次Jacobi多项式) 为:

$$
\mathrm{F}(-n, \beta, \gamma, z):=\sum_{k=0}^k \frac{(-n)_k(\beta)_k}{k !(\gamma)_k} z^k
$$

利用二项式系数，可以改写为:

$$
\mathrm{F}(-n, \beta, \gamma, z)=\sum_{k=0}^k(-1)^k\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right) \frac{(\beta)_k}{(\gamma)_k} z^k
$$

通过一些计算，我们还可以把它改写为积分形式:

$$
(\gamma)_n \mathrm{~F}(-n, \beta, \gamma, z)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} n ! \int^{(0+)} \frac{(1-v)^{\beta-\gamma}(1-(1-z) v)^{-\beta}}{v^{n+1}} \mathrm{~d} v
$$

还可以写出其的微分形式:

$$
\mathrm{F}(-n, \beta, \gamma, z)=\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma+n)} z^{1-\gamma}(1-z)^{\gamma+s-\beta} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{~d} z^n}\left(z^{\gamma+n-1}(1-z)^{\beta-\gamma}\right)

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