Levi 积分定理

实变函数中，Levi 积分定理是一个关于非负可测函数列的积分问题的定理。在证明其它有关函数列极限运算时很常用。

## 定义

设有定义在 $E$ 上的非负可测函数列 $\left\{f_k(x)\right\}_{k=1}^{\infty}$ 满足

$$
f_1(x) \leqslant f_2(x) \leqslant \cdots \leqslant f_k(x) \leqslant \cdots, \forall x \in E .
$$

且 $\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x)$, a.e. $x \in E$. 那么

$$
\lim _{k \rightarrow \infty}(L) \int_E f_k(x) \mathrm{d} x=(L) \int_E f(x) \mathrm{d} x .
$$

即极限号可以和积分号交换次序。
使用它可以证明 Fatou 引理。

## 推论

使用它可以得出很多非负可测函数列积分的性质，如
(渐降列) 设有定义在 $E$ 上的非负可测函数列 $\left\{f_k(x)\right\}_{k=1}^{\infty}$ 满足

$$
f_1(x) \geqslant f_2(x) \geqslant \cdots \geqslant f_k(x) \geqslant \cdots, \forall x \in E .
$$

且 $\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x)$, a.e. $x \in E$. 那么

$$
\lim _{k \rightarrow \infty}(L) \int_E f_k(x) \mathrm{d} x=(L) \int_E f(x) \mathrm{d} x .
$$

(积分区域可列可加性) 设 $\left\{f_k(x)\right\}_{k=1}^{\infty}$ 是 $E$ 上的非负可测函数列，那么

$$
\text { (L) } \int_E \sum_{k=1}^{\infty} f_k(x) \mathrm{d} x=\sum_{k=1}^{\infty}(L) \int_E f_k(x) \mathrm{d} x .
$$

由此可以推得积分关于积分区域的可列可加性。
(积分区域的极限性质) 设 $\left\{E_k\right\}_{k=1}^{\infty}$ 是单增的可测集合列，且 $\lim _{k \rightarrow \infty} E_k=E ， f(x)$ 是定义在 $E_k$ 上的非负可测函数，那么

$$
\lim _{k \rightarrow \infty}(L) \int_{E_k} f(x) \mathrm{d} x=(L) \int_E f(x) \mathrm{d} x

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