日期: 2023-12-21 20:23 查看: 107 次编辑导出

勒贝格Lebesgue积分

在实变函数中，Lebesgue 积分 (勒贝格积分) 是改进 Riemann 积分得到的一种积分，是实变函数理论的核心。 Riemann 积分是通过划分定义域得到的，而 Legesgue 积分则可以理解为是通过划分值域得到的。定义一个函数的 Lebesgue 积分并不是十分直观，尽管它将值域做了划分，但由此带来的问题是对每个值域的小分区，对应的定义域并不再是简单的区间了，可能十分复杂，因此给这些小区域一种度量就导致了 Lebesgue 测度被预先定义。

我们这里采用渐进的方式来定义 Lebesgue 积分，先对非负可测函数讨论，详见非负可测函数的积分，本页面考虑一般函数的积分及其简单性质。

有时我们为了和 Riemann 积分做区分，常在 Lebesgue 积分的积分号前加 $(L)$ ，而在 Riemann 积分前加 $(R)$. 关于 Lebesgue 积分的性质，详见 Lebesgue 积分的性质。

从后面的定义和性质可以知道: Lebesgue 积分是定义在复向量空间 $L^1(X, \mu)$ 上的线性泛函。

## 定义

设定义在 $E \subseteq \mathbb{R}^n$ 上的可测函数 $f(x)$ 分为

$$
f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x), \forall x \in E .
$$

这里

$$
f^{+}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
f(x), & x \in\{x \in E: f(x) \geqslant 0\}, \\
0, & x \in\{x \in E: f(x)<0\} .
\end{array} \quad f^{-}(x)= \begin{cases}-f(x), & x \in\{x \in E: f(x) \leqslant 0\}, \\
0, & x \in\{x \in E: f(x)>0\} .\end{cases}\right.
$$

分别称为函数 $f(x)$ 在 $E$ 上的正部和负部。这两个函数都是非负可测函数，它们有 Lebesgue 积分，如果它们都是有限值时，我们就说函数 $f(x)$ 在 $E$ 上 Lebesgue 可积，且 Lebesgue 积分定义为
(L) $\int_E f(x) \mathrm{d} x:=(L) \int_E f^{+}(x) \mathrm{d} x-(L) \int_E f^{-}(x) \mathrm{d} x$.

其中至少有一个是无穷时会导致广义的积分，两个都是无穷时减法无意义， $f(x)$ 不可积。

## 绝对可积

若 $f(x)$ 是 $E$ 上的可测函数，那么可积和绝对可积等价，这仅需注意到

$$
|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x) .
$$

且有

$$
\left|(L) \int_E f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant(L) \int_E|f(x)| \mathrm{d} x .
$$

绝对可积一般也称可和 (summable)。

## 与连续函数的关系

设函数 $f(x)$ 是 $E \subseteq \mathbb{R}^n$ 上的可积函数，那么对任意的 $\varepsilon>0$ 总存在 $\mathbb{R}^n$ 上的具有紧支集的连续函数 $g(x)$ 使得

$$
\text { (L) } \int_E|f(x)-g(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon .
$$

由此即得存在一个 $\mathbb{R}^n$ 上具有紧支集的连续函数列 $\left\{g_k(x)\right\}_{k=1}^{\infty}$ 使得

$$
\lim _{k \rightarrow \infty}(L) \int_E\left|f(x)-g_k(x)\right| \mathrm{d} x=0 .
$$

由 Riesz 定理可得存在 $\left\{g_k(x)\right\}_{k=1}^{\infty}$ 的一个子列 (因此还是具有紧支集的连续函数列) $\left\{h_k(x)\right\}_{k=1}^{\infty}$

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} h_k(x)=f(x), \quad \text { a.e. } x \in E .
$$

## 与 Riemann 积分的关系

一个有界函数在有界区间上如果 Riemann 可积，那么必然 Lebesgue 可积，且积分值相同，但反之未必，如 Dirichlet 函数。因此，Lebesgue 积分的某些计算可以转化为 Riemann 积分。

但是，对于借助定积分极限定义的反常积分的情形，两种积分不一定等价，Lebesgue 积分指的是绝对收敛的积分即
设函数 $f(x)$ 在递增可测集列 $\left\{E_k\right\}_{k=1}^{\infty}$ 上可积，该集列的极限集是 $E$ ，且有

$$
\lim _{k \rightarrow \infty}(L) \int_{E_k}|f(x)| \mathrm{d} x<+\infty .
$$

那么 $f(x)$ 在 $E$ 上可积，且
(L) $\int_E f(x) \mathrm{d} x=\lim _{k \rightarrow \infty}(L) \int_{E_k} f(x) \mathrm{d} x$.

例如 Dirichlet 积分、Fresnel 积分都是 Lebesgue 积分不存在的反常积分。

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