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实变函数论
Fubini 定理
日期:
2023-10-12 08:12
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Fubini 定理
在实变函数论中，**Fubini 定理**是一个揭示重积分和累次积分关系的定理，它也是积分能够交换次序的依据。 ## 内容 设有定义在 $\mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^q$ 上的可积函数 $f(x, y)$ ，其中， $x \in \mathbb{R}^p, y \in \mathbb{R}^q$ ，我们有 1. 对于 $\mathbb{R}^p$ 上几乎处处的 $x ， f(x, y)$ 关于 $y$ 在 $\mathbb{R}^q$ 上可积。 2. 积分 $$ \int_{\mathbb{R}^q} f(x, y) \mathrm{d} y $$ 是 $\mathbb{R}^p$ 上的可积函数。 3. 有如下交换次序和重积分转化为累次积分的定理 $$ \int_{\mathbb{R}^{p+q}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{\mathbb{R}^p} \mathrm{~d} x \int_{\mathbb{R}^q} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_{\mathbb{R}^q} \mathrm{~d} y \int_{\mathbb{R}^p} f(x, y) \mathrm{d} x . $$ 当 $f(x, y)$ 在 $\mathbb{R}^{p+q}$ 上非负可测时对应的定理是 Tonelli 定理。Fubini 定理就是通过先证明非负情形的 Tonelli 定理，然 后再注意到一个一般的可积函数可以分解为两个非负函数的差这一点给出证明的。
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