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实变函数论 Real Analysis
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Fatou 引理
Fatou 引理
日期:
2023-10-12 08:11
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在实变函数中，Fatou 引理是一个关于非负可测函数的积分的定理，它常用于判断极限函数的可积性。 ## 内容 设 $\left\{f_k(x)\right\}_{k=1}^{\infty}$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数列，那么 (L) $\int_E \liminf _{k \rightarrow \infty} f_k(x) \mathrm{d} x \leqslant \liminf _{k \rightarrow \infty}(L) \int_E f_k(x) \mathrm{d} x$. 其中， $\leqslant$ 不能改为 $=$ ，当 $\left\{f_k(x)\right\}_{k=1}^{\infty}$ 是单调函数列时，会取到 $=$ ，此时是 Levi 积分定理。 测度是积分的特殊情形 (Radon-Nikodym 定理)，因此测度上也有 Fatou 引理： 设有一可测集合列 $\left\{E_n\right\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{M}$ ，每一项的测度都不是无穷，那么有 $$ \begin{gathered} m\left(\liminf _{n \rightarrow \infty} E_n\right) \leqslant \liminf _{n \rightarrow \infty} m\left(E_n\right), \\ m\left(\limsup _{n \rightarrow \infty} E_n\right) \geqslant \limsup _{n \rightarrow \infty} m\left(E_n\right) . \end{gathered} $$ ## 依测度收敛型。 设 $\left\{f_k(x)\right\}_{k=1}^{\infty}$ 是可测集 $E$ 上的依测度收玫到 $f(x)$ 的非负可测函数列，那么 $(L) \int_E f(x) \mathrm{d} x \leqslant \limsup _{k \rightarrow \infty}(L) \int_E f_k(x) \mathrm{d} x$.
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