可测函数

日期: 2023-10-05 07:43 查看: 21 次更新导出Word

## 可测函数

在实变函数中，可测函数是研究的重要对象，就像数学分析主要研究连续函数那样。
测度论上的可测函数参见/测度论。

## 定义

设在有限维 Euclid 空间中，广义实值函数（意思是函数值可以取到广义实数 $\pm \infty ） f(x)$ 定义在一个可测集 $E \subseteq \mathbb{R}^n$ 上，如果对任意的有限实数 $t \in \mathbb{R}$ ，集合

$$
\{x \in E: f(x)>t\}
$$

是可测集，那么我们就称 $f(x)$ 是 $E$ 上的可测函数。
上述定义的条件可以用以下任意一条替换:

1. $\{x \in E: f(x) \leqslant t\}=E-\{x \in E: f(x)>t\}$ 是可测集；
2. $\{x \in E: f(x) \geqslant t\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\left\{x \in E: f(x)>t-\frac{1}{k}\right\}$ 是可测集;
3. $\{x \in E: f(x)<t\}=E-\{x \in E: f(x) \geqslant t\}$ 是可测集。
   在不引起混淆的情况下 $\{x \in E: f(x)>t\}$ 可简写为 $\{x: f(x)>t\}$ ，其余相似的简写也被采用。
   
   ## 性质。

运算性质
可测函数有如下运算性质:

1. $E$ 上的可测函数 $f(x)$ 的实数倍 $c f(x)$ 依然是 $E$ 上的可测函数；
2. $E$ 上的可测函数 $f(x), g(x)$ 的和与差 $f(x) \pm g(x)$ 依然是 $E$ 上的可测函数；
3. $E$ 上的可测函数 $f(x), g(x)$ 的实数倍 $f(x) g(x)$ 依然是 $E$ 上的可测函数。
   可测函数的极限运算性质：设 $\left\{f_k(x)\right\}_{k=1}^{\infty}$ 是 $E$ 上的可测函数序列，那么
4. $\sup _{k \geqslant 1} f_k(x), \inf _{k \geqslant 1} f_k(x)$ 是 $E$ 上的可测函数；
5. $\limsup _{k \rightarrow \infty} f_k(x), \liminf _{k \rightarrow \infty} f_k(x)$ 是 $E$ 上的可测函数；
6. 当 $\left\{f_k(x)\right\}_{k=1}^{\infty}$ 在 $E$ 上收敛于 $f(x)$ 时， $f(x)$ 是 $E$ 上的可测函数。

## 可测集的性质

设 $f(x)$ 是 $E$ 上的可测函数，那么以下点集均是可测集:

1. $\{x: f(x)=t\}=\{x: f(x) \leqslant t\} \cap\{x: f(x) \geqslant t\}$;
2. $\{x: f(x)<+\infty\}=\bigcup_{k=1}^{\infty}\{x: f(x)<k\}$;
3. $\{x: f(x)=+\infty\}=E-\{x: f(x)<+\infty\}$;
4. $\{x: f(x)>-\infty\}=\bigcup_{k=1}^{\infty}\{x: f(x)>-k\}$;
5. $\{x: f(x)=-\infty\}=E-\{x: f(x)>-\infty\}$.
   另外，有如下诸多关于可测函数关于可测集的性质：
6. $E_k, k=1,2, \cdots, n$ 上的可测函数在 $\bigcup_{k=1}^{\infty}$ 依然可测，特别的对有限个可测的并也成立;
7. 零测集上的实值函数是可测函数，因此若两个函数在一个可测集上除了一零测集之外处处相等，那么一个可测可 推出另一个可测;
8. 实数域的可测子集上的单调函数是可测函数；
9. 可测集 $E$ 上的连续函数是可测函数；
10. 在 $E$ 上可测的函数，在 $E$ 的可测子集上依然可测;
11. 可测函数列的收玫点的原像集是可测集;
12. $E$ 上的实值函数 $f(x)$ 是可测函数当且仅当 $f(E)$ 上开集的原象是可测集。

## 简单函数。

若定义在可测集 $E$ 上的函数 $f(x)$ 的值域 $f(E)$ 是有限集，则称 $f(x)$ 是 $E$ 上的简单函数，例如 Dirichlet 函数是简单 函数。
简单函数一定是可测函数，因此通常称其为简单可测函数。在 $E$ 上分段取常值的简单函数称为阶梯函数。

简单函数一定是可测函数，因此通常称其为简单可测函数。在 $E$ 上分段取常值的简单函数称为阶梯函数。
对于简单函数，它可以逼近可测函数，即有如下的简单函数逼近定理:

1. 设 $f$ 是 $E$ 上的非负可测函数，则存在一列渐升非负简单函数列

$$
\left\{f_k(x)\right\}_{k=1}^{\infty}: f_1(x) \leqslant f_2(x) \leqslant \cdots \leqslant f_k(x) \leqslant \cdots
$$

使得

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x), \quad x \in E .
$$

2. 设 $f$ 是 $E$ 上的可测函数，则存在一列简单函数列 $\left\{f_k(x)\right\}_{k=1}^{\infty}:\left|f_k(x)\right| \leqslant f(x)$ 使得

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x), \quad x \in E .
$$

当 $f_k(x)$ 有界时上述收敛是一致收敛。
复合函数的可测性 。
两个可测函数的复合不一定可测，可测函数的反函数也不一定是可测的。

1. 设 $g$ 是 $E \subseteq \mathbb{R}$ 上的可测函数， $f$ 是 $g(E)$ 上的连续函数，那么 $f \circ g$ 是 $E$ 上的可测函数；
2. 设 $g$ 是 $[a, b]$ 上的有界可测函数，函数 $f$ 在 $f(E)$ 上单调，则 $f \circ g$ 是 $E$ 上的可测函数；
3. 设 $T$ 是 $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ 的可逆线性变换， $f$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的可测函数，那么 $f \circ T$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的可测函数。

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