日期: 2023-12-21 20:29 查看: 115 次编辑导出

有界变差函数

## 概念

以一维情形为例，设 $f(x)$ 定义在区间 $[a, b]$ 上，做一个分划 $\Delta: a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b$ ，称以下数值

$$
v_{\Delta}=\sum_{k=1}^n\left|f\left(x_k\right)-f\left(x_{k-1}\right)\right|
$$

为函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的变差，而

$$
\bigvee_a^b(f):=\sup v_{\Delta} .
$$

称为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的全变差，即取所有变差的上确界。如果

$$
\bigvee_a^b(f)<+\infty,
$$

我们就说 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的有界变差函数。所有有界变差函数的全体记作 $B V([a, b])$.
例如， $[a, b]$ 上的单调函数满足 $\bigvee_a^b(f)=|f(b)-f(a)|<+\infty$ 是有界变差函数， $[a, b]$ 上的可微函数也是有界变差函数，而函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 则不是任意包含原点的区间的有界变差函数。

## Jordan 分解定理

$f(x) \in B V([a, b])$ 当且仅当存在 $[a, b]$ 上的递增实值函数 $g(x), h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)-h(x)$ 。。实际上，

$$
g(x)=\frac{1}{2} \bigvee_a^x(f)+\frac{1}{2} f(x), \quad h(x)=g(x)=\frac{1}{2} \bigvee_a^x(f)-\frac{1}{2} f(x) .
$$

由上式定义的函数

$$
\bigvee_a^x(f)
$$

是 $[a, b]$ 上的递增函数。
设 $f \in B V([a, b])$ ，那么 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上几乎处处可微，且

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \bigvee_a^x(f)=\left|f^{\prime}(x)\right|, \quad \text { a.e. } x \in[a, b] .
$$

假设同上，如果 $f(x)$ 在 $x_0 \in[a, b]$ 连续，那么 $\bigvee_a^x(f)$ 也在 $x_0$ 处连续。

## 基本性质

1. 同一区间上的有界变差函数的和与差依然是有界变差的。
2. 有界变差函数一定是有界的。
3. 设 $a<c<b$ ，则有 $\bigvee_a^b(f)=\bigvee_a^c(f)+\bigvee_c^b(f)$.
4. $\bigvee_a^b(f)=0$ 当且仅当 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的常值函数。
5. 设 $f \in B V([a, b])$ ，那么 $|f| \in B V([a, b])$.
6. 设 $f, g \in B V([a, b])$ ，那么 $\max \{f, g\}, \min \{f, g\} \in B V([a, b])$.
7. 设 $f(x) \in B V([a, b]) ， \varphi(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上是 Lipschitz 连续的，那么 $\varphi(f(x)) \in B V([a, b])$.
8. 设 $f_n(x) \in B V([a, b])$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x), \sum_{n=1}^{\infty} \bigvee_a^x\left(f_n\right)$ 在 $[a, b]$ 上收敛，那么 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \in B V([a, b])$.
9. 有界变差函数列的极限函数若存在，则其为有界变差函数。

## 一般推广

一般的有界变差函数通过抽象的测度以及符号测度定义。关于符号测度有著名的 Hahn-Jordan 分解：给定可测空间 $(X, \mathcal{F})$ 上的符号测度 $\varphi$ ，首先我们定义如下非负单调规范的集函数

$$
\varphi^*(A):=\sup \{\varphi(B): B \subset A, B \in \mathcal{F}\} .
$$

那么存在测度 $\varphi^{+}$和有限测度 $\varphi^{-}$使得

$$
\varphi=\varphi^{+}-\varphi^{-} .
$$

且 $\varphi^{+}=\varphi^*, \varphi^{-}=(-\varphi)^*$. 上述分解称为 $\varphi$ 的 Jordan 分解，这种分解是唯一的。测度 $\varphi^{+}, \varphi^{-}$分别称为 $\varphi$ 的上变差和下变差，而 $|\varphi|:=\varphi^{+}+\varphi^{-}$称为全变差，它们都是测度。如果 $|\varphi|$ 是有限的，我们就称 $\varphi$ 是有界变差测度。向量值测度的有界变差性在泛函分析中经常会用到，详见向量值测度\#变差。

## 函数空间 $B V[a, b]$

有界变差函数可以在一定意义下构成赋范线性空间，我们以一维的有界变差函数为例说明:

假设 $B V[a, b]$ 是区间 $[a, b]$ 上的实值或复值有界变差函数全体构成的空间，线性运算按照通常函数加法和数乘进行，这是一个线性空间，定义其上的范数

$$
\|f\|=|f(a)|+\bigvee_a^b(f) .
$$

可以验证它确实是范数，因此 $B V[a, b]$ 是赋范线性空间，同时可以证明它还是 Banach 空间。它的一个子空间 $B V_0[a, b]:=\{f: f(a)=0$ 且 $f$ 在 $(a, b)$ 中右连续 $\}$ ，这个子空间的范数是全变差。

空间 $B V_0[a, b]$ 是连续函数空间 $C[a, b]$ 的对偶空间。

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