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Lebesgue_微分定理
日期:
2023-12-21 20:31
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Lebesgue_微分定理
Lebesgue 微分定理或 Lebesgue 定理,描述了 Lebesgue 积分意义下的不定积分(变限积分)与微分的关系。它是黎曼积分下不定积分的推广。 ## 内容 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上 Lebesgue 可积,那么由 $$ F(x):=(L) \int_a^x f(t) \mathrm{d} t $$ 定义的函数 $F(x)$ 几乎处处可微,且满足 $$ F^{\prime}(x)=f(x) \quad \text { a.e. } x \in[a, b] . $$ 由此可推得 $$ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_0^h|f(t+h)-f(t)| \mathrm{d} t=0 . $$ 实际上,上述定义的变上限积分 $F(x)$ 是绝对连续函数。 ## 高维形式 以下的积分和可积性要求均是 Lebesgue 意义下的。假设 $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 是局部可积的,那么有 1. 对于几乎处处的 $x_0 \in \mathbb{R}^n$ 成立 $$ \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{m\left(B\left(x_0, r\right)\right)} \int_{B\left(x_0, r\right)} f(x) \mathrm{d} x=f\left(x_0\right) . $$ 2. 进一步,对于几乎处处的 $x_0 \in \mathbb{R}^n$ 成立 $$ \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{m\left(B\left(x_0, r\right)\right)} \int_{B\left(x_0, r\right)}\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right| \mathrm{d} x=0 . $$ 满足如上条件的 $x_0$ 称为 Lebesgue 点。此外如果 $f(x)$ 是局部 $L^p$ 可积的, $1 \leqslant p<+\infty$ ,那么成立对于几乎处处的 $x_0 \in \mathbb{R}^n$ 成立 $$ \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{m\left(B\left(x_0, r\right)\right)} \int_{B\left(x_0, r\right)}\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|^p \mathrm{~d} x=0 . $$
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