日期: 2023-12-21 20:33 查看: 103 次编辑导出

绝对连续函数

实变函数论中，绝对连续函数是满足微积分基本定理充要条件的函数，借助 Lebesgue 积分的研究，微积分基本定理的条件得以弱化为充要形式。

## 定义

定义在区间 $[a, b]$ 上的实值函数 $f(x) ， \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ 使得当 $[a, b]$ 中的任意有限个互不相交的开区间 $\left(a_k, b_k\right), k=1,2, \cdots, n$ 满足

$$
\sum_{k=1}^n\left(b_k-a_k\right)<\delta
$$

时有

$$
\sum_{k=1}^n\left|f\left(b_i\right)-f\left(a_i\right)\right|<\varepsilon
$$

我们就称这样的函数 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的绝对连续函数。上述定义可以等价写为定义在区间 $[a, b]$ 上的实值函数 $f(x)$ ， $\forall \varepsilon>0, \exists M>0$ 使得对于 $[a, b]$ 中的任意有限个互不相交的开区间 $\left(a_k, b_k\right), k=1,2, \cdots, n$ 满足

$$
\sum_{k=1}^n\left|f\left(b_i\right)-f\left(a_i\right)\right| \leqslant M \sum_{k=1}^n\left(b_k-a_k\right)+\varepsilon .
$$

## 说明

绝对连续的函数是一致连续函数，反之未必。
绝对连续函数是有界变差函数，反之未必。
绝对连续函数的和差与数乘依然是绝对连续函数，乘积未必。
Lipschitz 连续的函数一定是绝对连续函数。
一个 Lebesgue 可积的一元实函数的不定积分是绝对连续函数。
绝对连续函数是几乎处处可微的，且它的微分是 Lebesgue 可积的。
绝对连续函数的复合不一定是绝对连续的。
一个连续的有界变差函数，它是绝对连续的当且仅当零测集的像是零测集。

## 微积分基本定理 :

若 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的绝对连续函数，那么

$$
\int_a^x f^{\prime}(t) \mathrm{d} t=f(x)-f(a), \quad \forall x \in[a, b] .
$$

上述积分是在 Lebesgue 积分意义下的。
一个定义在 $[a, b]$ 上的函数 $f(x)$ 成立上述等式当且仅当 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的绝对连续函数。

一旦微积分基本定理推广到 Lebesgue 积分的场合下，积分第一中值定理、积分第二中值定理、分布积分公式、换元积分公式都可以相应推广。

在测度论中类似的定理是 Radon-Nikodym 定理，它需要引入下面集函数的绝对连续性来对符号测度能否表示为不定积分的形式做刻画。

## 集函数

在测度论中集函数的绝对连续性是这样定义的：假设 $\varphi$ 是测度空间 $(X, \mathcal{F}, \mu)$ 上的符号测度，如果

$$
\mu(A)=0 \Longrightarrow \varphi(A)=0 .
$$

我们就称 $\varphi$ 是对 $\mu$ 绝对连续的，记作 $\varphi \ll \mu$ 。显然 $\varphi \ll \mu$ 当且仅当全变差 $|\varphi| \ll \mu$.
与之相对的概念是奇异性：假设有可测空间 $(X, \mathcal{F})$ 上的两个符号测度 $\varphi, \psi$ ，如果存在 $N \subset \mathcal{F}$ 使得 $|\varphi|\left(N^c\right)=|\psi|(N)=0$ ，我们就称 $\varphi$ 和 $\psi$ 是相互奇异的，记作 $\varphi \perp \psi$.

如果 $\varphi \ll \mu, \varphi \perp \mu$ ，那么 $\mu=0$.

假设有可测空间 $(X, \mathcal{F})$ 及其上的两个符号测度 $\varphi, \psi$ ，我们称 $\varphi$ 对 $\psi$ 绝对连续，是指 $\varphi \ll|\psi|$ ，此时也写作 $\varphi \ll \psi$.

类似于 Lebesgue 测度中绝对连续函数的 $\varepsilon-\delta$ 语言，绝对连续测度也有下面的等价刻画

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