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实变函数论
Lp 空间
日期:
2023-12-21 20:34
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Lp 空间
在实分析中,LP 空间是一种特殊的赋范线性空间,还是 Banach 空间,其中的元素是可测函数,范数按照 Lebesgue 积分的幂次定义,两个函数的距离按照差的 Lebesgue 积分的幂次定义。 它是 Lebesgue 测度上的可积函数测度空间,当测度换为离散形式时有{\displaystyle l^{p}}{\displaystyle l^{p}}空间,这个空间中成立反向的不等式,因此和上述{\displaystyle L^{p}}{\displaystyle L^{p}}空间某些性质相反。 ## 概念 设有定义在可测集 $E \subseteq \mathbb{R}^n$ 上的可测函数 $f(x)$ ,常数 $p \in \mathbb{R}^{+}$,下述数值 $$ \|f\|_p:=\left(\int_E|f(x)|^p \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{p}} $$ 为有限数时,称其为函数 $f(x)$ 在 $E$ 上的 $L^p$ 范数(可以验证它确实是一个范数),上述积分是 Lebesgue 积分,上述范数有时也记作 $\|f\|_{L^p(E)}$ 。收集 $E$ 上全体 $L^p$ 范数有限的函数,称其为 $L^p$ 空间,记作 $L^p(E)$. 当 $p=+\infty$ 的情形详见 $L \infty$ 空间。 在这个空间里,几乎处处相等的函数被视为同一个元素,因此实际上 $L^p(E)$ 空间中的元素是所有 $E$ 上可测函数全体构成的集合 $M(E)$ 再商掉如下等价关系: $$ \forall f, g \in M(E), f \sim g \Longleftrightarrow f(x)=g(x), \quad \text { a.e. } x \in E . $$ 的商空间 $M(E) / \sim$. 不过我们一般在这里不总是声明这个差别。 ## 不等式 $L^p$ 空间中有两个基本的不等式,即 Hölder 不等式和 Minkowski 不等式 1. Hölder 不等式: $f \in L^p(E), g \in L^q(E), \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,1 \leqslant p \leqslant+\infty$ ,那么 $$ \|f g\|_1 \leqslant\|f\|_p \cdot\|g\|_q . $$ 当 $0<p<1$ 而其它条件不变时,不等号反向。 2. Minkowski 不等式: $f, g \in L^p(E), 1 \leqslant p \leqslant+\infty$ ,那么 $$ \|f+g\|_p \leqslant\|f\|_p+\|g\|_p . $$ 当 $0<p<1$ 而其它条件不变并要求 $f, g$ 非负时,不等号反向。有关这两个不等式的推广参见对应页面。 ## 弱收敛 定义和叙述 $L^p$ 空间上的弱收敛只需要注意到当 $1 \leqslant p<+\infty$ 时 $L^p$ 空间的对偶空间是 $L^q$ 空间,其中 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.而 $L^{\infty}$ 空间用这样的方法不能定义弱收敛,但是可以定义更弱的*弱收敛:一个 $L^{\infty}(U)$ 上的函数序列 $f_n$ *弱收敛到 $f \in L^{\infty}(U)$ 当且仅当对任意的 $\varphi \in L^1(U)$ 都有 $$ \int_U f_k \varphi \mathrm{d} x \rightarrow \int_U f \varphi \mathrm{d} x $$ 当 $1<p<+\infty$ 时, $L^p$ 空间是自反的 Banach 空间,因此根据 Eberlein-Schmulyan 定理,任意有界序列也就有弱收敛的子列,但是对于两个临界指标 $p=1$ or $+\infty$ 而言要复杂一些了,下面是一些相关结果: 1. $(p=+\infty) L^{\infty}$ 空间中任意有界序列都有*弱收敛的子列。 2. $(p=1$ ,微咬引理 $)$ 假设 $U$ 有界,那么任意 $L^1(U)$ 上的有界序列,都存在一个 $U-E$ 上弱收敛的子列,这里 $E$ 是一个很小的正测集。 关于 $p=+\infty$ 的场合刻画弱收敛型态有一个有关 Young 测度的结果。
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