日期: 2023-12-31 14:20 查看: 105 次编辑导出

埃尔米特插值

不少实际的插值问题不但要求在节点上的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等,满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。

埃尔米特插值是另一类插值问题，这类插值在给定的节点处，不但要求插值多项式的函数值与原函数值相同。同时还要求在节点处，插值多项式的一阶直至指定阶的导数值，也与被插函数的相应阶导数值相等，这样的插值称为埃尔米特(Hermite)插值。Hermite插值在不同的节点，提出的插值条件个数可以不同，若在某节点 $x_i$ ，要求插值函数多项式的函数值，一阶导数值，直至 $m_i-1$ 阶导数值均与被插函数的函数值相同及相应的导数值相等。我们称 $x_i$ 为 $m_i$ 重插值点节，因此，Hermite插值应给出两组数，一组为插值点 $\left\{x_i\right\}_{i=0}^n$ 节点，另一组为相应的重数标号 $\left\{m_i\right\}_{i=0}^n$ 。
若 $\sum_{i=0}^n m_i=N+1$ ，这就说明了给出的插值条件有 $N+1$ 个，为了保证插值多项式的存在唯一性，这时的Hermite插值多项式应在 $P_{N+1}$ 上求得，于是可作如下定义。

## 定义

$f$ 为 $[a, b]$ 上充分光滑函数，对给定的插值定节 $\left\{x_i\right\}_{i=0}^n$ ， 及相应的重数标号 $\left\{m_i\right\}_{i=0}^n ， \sum_{i=0}^n m_i=N+1$ 时，若有 $H(x) \in P_n$ 满足

$$
H^l\left(x_i\right)=f\left(x_i\right), l=0,1, \ldots, m_{i-1} ; i=0,1, \ldots, n .
$$

则称 $H(x)$ 为 $f(x)$ 关于节点 $\left\{x_i\right\}_{i=0}^n$ 及重数标号 $\left\{m_i\right\}_{i=0}^n$ 的Hermite插值多项式。

## 二重Hermite插值多项式

常用的Hermite插值为 $\mathrm{m}_{\mathrm{i}}=2$ 的情况，即给定的插值节点 $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right\}^{\mathrm{n}}{ }_{\mathrm{i}=0}$ 均为二重节点，更具体些， $f(x) \in C^2([a, b])$ ，及插值节点 $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right\}^{\mathrm{n}}{ }_{\mathrm{i}}^{\mathrm{i}}=0$ ，若有 $H_{2 n+1}(x) \in P_{2 n+1}$ 满足

$$
H_{2 n+1}\left(x_i\right)=f\left(x_i\right)
$$

$H_{2 n+1}^{\prime}\left(x_i\right)=f^{\prime}\left(x_i\right), i=0,1, \ldots, n$ ， 就称 $H_{2 n+1}(\mathrm{x})$ 为 $f(x)$ 关于节点 $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{i}} \mathrm{n}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{n}} \mathrm{i}=0\right.$ 的二重Hermite插值多项式。

**唯一性定理**

误差定理
若 $f \in C^{2 n+2}([a, b])$ ，则为 $f(x)$ 关于 $[a, b]$ 上节点 $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right\}^{\mathrm{n}}{ }_{\mathrm{i}=0}$ 的二重Hermite插值多项式误差为

$$
R_{2 n+1}(x)=f(x)-H_{2 n+1}(x)=\frac{f^{(2 n+2)}(\xi)}{(2 n+2) !} w_n^2(x)
$$

这里

$$
\min \{x 0, x 1, \ldots, x n, x\} \leq \xi=\xi(x) \leq \max \{x 0, x 1, \ldots, x n, x\}

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