最佳评方逼近

日期: 2023-10-21 21:42 查看: 14 次更新导出Word

最佳平方逼近是用多项式逼近一个函数的方法，它选择的误差度量是赋范线性空间中的 L-2 范数，即平方积分

## 概念

设 $f$ 是内积空间 $E$ 中的一个元素， $(, )$ 是 E 上的内积， $M$ 是 $E$ 的一个子空间，那么对任意的 $p \in M$ 使

$$
e:=\sqrt{(f-p, f-p)}
$$

达到最小的 $p$ 称作 $f$ 在子空间 $E$ 上的最佳平方逼近元素。
在离散型中， $(f, g)$ 是实向量空间 (Euclid 空间) 上的内积；在连续型中， $(f, g)=\int_I \rho(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ，其中函数 $f(x), g(x)$ 定义在 $I$ 上且连续。

上述逼近问题的逼近元素是存在且唯一的。

## 充要条件

假设同上，且设 $M$ 的维数有限，那么 $p$ 是 $f$ 的最佳逼近元素当且仅当误差元 $f-p$ 与 $M$ 正交，即

$$
\left(f-p, e_k\right)=0, k=1,2, \cdots, m
$$

其中 $\left\{e_k\right\}_{k=1}^m$ 是 $M$ 上的极大线性无关组，特别地，可以是基底甚至是正交基底。此时逼近误差满足

$$
e:=\sqrt{(f-p, f-p)}=\sqrt{(f, f)-(f, p)} .
$$

## 法方程组

假设同上，设元素 $\boldsymbol{p}$ 用基底 $\left\{e_k\right\}$ 线性表示为

$$
p=\sum_{k=1}^m c_k e_k
$$

那么注意到充要条件，有

$$
\left(f-\sum_{k=1}^m c_k e_k, e_j\right)=0, \quad j=1,2, \cdots, m .
$$

于是展开内积，得到线性方程组

$$
\sum_{k=1}^m\left(e_k, e_j\right) c_k=\left(f, e_j\right), \quad j=1,2, \cdots, m \quad(*) .
$$

它的系数矩阵就是 $\operatorname{Gram}$ 矩阵 $G\left(e_1, e_2, \cdots, e_m\right)$. 方程组 $(*)$ 被称为法方程组。
特别地，若 $\left\{e_k\right\}_{k=1}^m$ 是正交基底，那么容易得到 Gram 矩阵是对角矩阵，直接就得到逼近元素

$$
p=\sum_{k=1}^m \frac{\left(f, e_k\right)}{\left(e_k, e_k\right)} e_k .
$$

因此设法使用正交多项式去逼近一个函数空间中的函数 $f(x)$ 会大大简化计算。

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