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函数逼近论
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最佳一致逼近
日期:
2023-10-21 21:40
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最佳一致逼近
对一个函数进行逼近除了插值逼近外还有最佳逼近，最佳一致逼近问题是说，对于定义在区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$ ，寻求一次数不超过 $n$ 的多项式 $p_n(x)$ ，使得以下偏差 $$ \max \left\{f(x)-p_n(x)\right\} $$ 达到最小值。我们称此时的多项式 $p_n(x)$ 是对于 $f(x)$ 的最佳一致逼近多项式。可以证明，这样的多项式一定是存在且唯一的。 ## Chebyshev 定理 我们给出这样的逼近多项式的一个充要条件，即 Chebyshev 定理: $p_n(x)$ 是上述逼近问题的一个解当且仅当 $f(x)-p_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在至少有 $n+2$ 个点组成的交错点组。 所谓 $[a, b]$ 交错点组 $\left\{x_k\right\}_{k=1}^n$ ，就是满足如下条件的点列 1. $a \leqslant x_1<x_2<\cdots<x_n \leqslant b$; 2. $f\left(x_k\right)=(-1)^k \sigma \max _{a \leqslant x \leqslant x_k} f(x), \sigma= \pm 1$. 虽然该定理给出了充要条件，但确定最佳一致逼近多项式仍然是十分困难的，因此我们只能退而求其次，寻求近似的最佳一致逼近，其中一个有效的算法是 Remes 算法。
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