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牛顿插值
日期:
2023-10-12 08:06
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牛顿插值
数值分析上的 Newton 插值是一种插值方法，它是基于Lagrange 插值进行的。 ## 一般插值公式 设有点 $\left(x_i, f\left(x_i\right)\right), i=0,1,2, \cdots, n$ ，过这些点的不高于 $n$ 次的多项式通过下式确定: $$ N_n(x)=f\left(x_0\right)+\sum_{k=1}^n f\left[x_0, x_1, \cdots, x_k\right]\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \cdots\left(x-x_{k-1}\right) $$ 其中， $f\left[x_0, \cdots, x_k\right]$ 是对于节点 $x_0, \cdots, x_k$ 的 $k$ 阶差商，它可以使用差商的递推公式计算每一项。 ## 等距节点公式 当 $x_i$ 等距排列时，上式会大大简化，设 $x_i=x_0+i h, i=0,1,2, \cdots, n$ 主要有以下两种插值公式: 1. 向前插值公式，主要用于左端点附近的插值 $$ N_n(x)=f\left(x_0\right)+\sum_{k=1}^n \frac{\Delta^k f_0}{k !} t(t-1) \cdots(t-k+1) . $$ 其中， $x=x_0+t h$. 2. 向后插值公式，主要用于右端点附近的插值 $$ N_n(x)=f\left(x_0\right)+\sum_{k=1}^n \frac{\nabla^k f_0}{k !} t(t+1) \cdots(t+k-1) . $$ 其中， $x=x_n+t h$. 上述符号详见差分。
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