最后更新: 2024-12-15 11:27 查看: 214 次反馈刷题

受迫振动共振

通过对弹簧振子及单摆的研究，我们知道弹簧振子与单摆在没有外力干预的情况下做简谐运动，周期或频率与振幅无关，仅由系统自身的性质决定，我们把这种
振动称为固有振动，其振动频率称为固有频率（naturalfrequency）。倘若振动系统受到外力作用，它将如何运动？

## 振动中的能量损失

生活中, 摇曳的树叶会停下来, 摆动的秋千也会停止运动。由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用, 振幅必然逐渐减小。这种振幅随时间逐渐减小的振动称为阻尼振动 (damped vibration), 其振动图像如图 $2.6-1$ 所示。
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振动系统能量衰减的方式通常有两种。一种是由于振动系统受到摩擦阻力的作用, 使振动系统的机械能逐渐转化为内能。例如单摆运动时受到空气的阻力。另一种是由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动, 使能量向四周辐射出去, 从而自身机械能减少。例如音叉发声时, 一部分机械能随声波辐射到周围空间, 导致音叉振幅减小。

## 受迫振动

阻尼振动最终要停下来, 那么怎样才能产生持续的振动呢? 最简单的办法是使周期性的外力作用于振动系统,外力对系统做功, 补偿系统的能量损耗, 使系统的振动维持下去。这种周期性的外力叫作驱动力, 系统在驱动力作用下的振动叫作受迫振动 (forced vibration)。机器运转时底座发生的振动、扬声器纸盆的振动, 都是受迫振动。
通过观察会发现, 固有频率与 $\mathrm{D}$ 摆相同的 $\mathrm{A}$ 摆、 $\mathrm{G}$ 摆振幅最大, 固有频率与 $\mathrm{D}$ 摆相差较多的 $\mathrm{C}$ 摆、 $\mathrm{E}$ 摆振幅最小。这说明物体在做受迫振动时, 驱动力的频率与物体的固有频率相差越小, 受迫振动的振幅越大; 当驱动力的频率与物体的固有频率相等时, 受迫振动的振幅达到最大。
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图 2.6-4 反映了受迫振动振幅 $A$ 与驱动力频率 $f$ 之间的关系。图中 $f_0$ 等于物体的固有频率, 可以看出, 当驱动力的频率等于固有频率时, 物体做受迫振动的振幅达到最大值, 这种现象称为共振 (resonance)。

共振是十分普遍的现象, 在工程技术的许多领域都可以观察到它, 都要应用到它。

把一些不同长度的钢片安装在同一个支架上, 可以制作转速计。把这样的转速计与开动着的机器紧密接触, 机器的振动引起转速计的轻微振动, 这时固有频率与机器转速一致的那个钢片发生共振, 振幅最大。读出这个钢片的固有频率, 就可以知道机器的转速。

有的情况下需要避免共振。例如, 在桥梁、码头等各种建筑的设计施工中, 以及飞机、汽车、轮船的发动机等机器设备的设计、制造、安装中. 都必须考虑防止共振产

## 本节总结
1.受迫振动
(1)概念：系统在驱动力 作用下的振动。
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
2. 共振
（1）概念：当驱动力的频率等于固有频率 时，物体做受迫振动的振幅达到最大的现象。
（2）共振的条件：驱动力的频率等于固有频率。
（3）共振的特征: 共振时振幅最大.

(4)共振曲线(如图所示).
f＝f0时，A＝　Am　，f与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅越小

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 ## 判断
 1.物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率有关.（ $\times$ ）
2.物体在发生共振时的振动是受迫振动。（ $\sqrt{ }$ ）
3.驱动力的频率越大，物体做受迫振动的振幅越大.（ $\times$ ）

## 简谐运动、受迫振动和共振的比较
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  `例` 
如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动.开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2 Hz.现匀速转动摇把，转速为240 r/min.则
 ![图片](/uploads/2024-12/8d6b84.jpg)
A.当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5 s
B.当振子稳定振动时，它的振动频率是6 Hz
C.当转速增大时，弹簧振子的振幅增大
D.当转速减小时，弹簧振子的振幅增大
解：摇把匀速转动的频率 $f=n=\frac{240}{60} Hz=4 Hz$, 周期 $T$ $=\frac{1}{f}=0.25 s$, 当振子稳定振动时, 它的振动周期及频率均与驱动力的周期及频率相等，A、B 错误；
当转速减小时，其频率更接近振子的固有频率，弹簧振子的振幅增大，C错误，D正确。

`例`(多选)如图所示为两个单摆做受迫振动的共振曲线，则下列说法正确的是
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A.若两个受迫振动分别在月球上和地球上进行(g地>g月)，　且摆长相等，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B.若两个单摆的受迫振动是在地球上同一地点进行的，则两个单摆的摆长之比LⅠ∶LⅡ＝25∶4
C.若摆长均约为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的
D.若两个单摆在同一地点均发生共振，图线Ⅱ表示的单摆的能量一定大于图线Ⅰ表示的单摆的能量
解：题图所示的图线中振幅最大处对应的频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图线上可以看出，两单摆的固有频率 $f_{ I }=0.2 Hz, f_{ II }=0.5 Hz$ 。当两摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据 $f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ 可知， $g$ 越大， $f$ 越大，所以 $g_{I I}>g_I$ ，又因为 $g_{\text {地 }}>g_{\text {月 }}$ ，因此可推知图线 I表示月球上单摆的共振曲线，A正确；
若两个单摆在地球上同一地点进行受迫振动, $g$ 相同, 摆长长的 $f$ 小,因为 $\frac{f_{ I }}{f_{ II }}=\frac{0.2}{0.5}$, 所以 $\frac{L_{ I }}{L_{ II }}=\frac{25}{4}$, B 正确;
因为 $f_{ II }=0.5 Hz$, 若图线 II 是在地面上完成的, 根据 $f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ ，可计算出 $L_{\text {II }}$ 约为 1 m ，C 错误；

单摆的能量除了与振幅有关，还与摆球质量有关，由于两摆球质量关系未知，故不能比较两摆的能量， D 错误。

`例`如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为6 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则
 ![图片](/uploads/2024-12/59866c.jpg)
A.该振子振动周期是2 s，振幅是6 cm
B.该振子振动频率是2 Hz
C.小球完成一次全振动通过的路程是12 cm
D.小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
解：由题意可知 $T=\frac{60}{30} s=2 s, A=\frac{6}{2} cm=3 cm, A$ 错误;频率 $T=\frac{1}{f}$, 解得 $f=0.5 Hz, B$ 错误;
小球完成一次全振动通过的路程为振幅的 4 倍，即 $s_0=4 \times 3 cm=12 cm$ ， C正确；

小球在 3 s 内通过的路程为 $s=\frac{t}{T} \times 4 A=\frac{3}{2} \times 4 \times 3 cm=18 cm$, D 错误.

`例`(多选)很多高层建筑都会安装减震耗能阻尼器，用来控制强风或地震导致的振动.台北101大楼使用的阻尼器是重达660吨的调谐质量阻尼器，阻尼器相当于一个巨型质量块.简单说就是将阻尼器悬挂在大楼上方，它的摆动会产生一个反作用力，在建筑物摇晃时往反方向摆动，会使大楼摆动的幅度减小.关于调谐质量阻尼器下列说法正确的是
 ![图片](/uploads/2024-12/0ed350.jpg)
A.阻尼器做受迫振动，振动频率与大楼的振动频率相同
B.阻尼器与大楼摆动幅度相同
C.阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反
D.阻尼器摆动幅度不受风力大小影响
解：由题意可知阻尼器做受迫振动，振动频率与大楼的
振动频率相同，故A正确；
阻尼器与大楼摆动幅度不相同，故B错误；
由题意可知，大楼对阻尼器的力与阻尼器对大楼的力为一对相互作用力，根据回复力F＝－kx，可知阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反，故C正确；
阻尼器的摆动幅度会受到风力的影响，故D错误.

`例`如图所示，表面光滑、半径为R的圆弧形轨道AP与水平地面平滑连接，AP弧长为s，s≪R.半径为r的小球从A点由静止释放，运动到最低点P时速度大小为v，重力加速度为g，则小球从A运动到P的时间是
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 A. $t=\frac{2 s}{v}$
B. $t=\frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{R-r}{g}}$
C. $t=\frac{\pi}{4} \sqrt{\frac{R}{g}}$
D. $t=\frac{\pi}{4} \sqrt{\frac{R-r}{g}}$
解：因为 $A P$ 弧长为 $s$, 且 $s \ll R$, 所以小球的运动等效为单摆运动，根据单摆的周期公式可得 $T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ ，由题意可知，摆长 $l=R-r$ ，小球从 $A$ 运动到 $P$ 所用的时间为四分之一个周期, 即有 $t=\frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{R-r}{g}}$, 故 B 正确.

`例`如图所示，两个摆长均为L的单摆，
摆球A、B质量分别为m1、m2，悬点均为O.在O点正下方0.19L
处固定一小钉.初始时刻B静止于最低点，其摆线紧贴小钉右
侧，从图示位置由静止释放A(θ足够小)，在最低点与B发生
弹性正碰.两摆在整个运动过程中均满足简谐运动条件，摆线
始终保持绷紧状态且长度不变，摆球可视为质点，不计碰撞
时间及空气阻力，重力加速度为g.下列选项正确的是
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 A. 若 $m_1=m_2$ ，则 $A 、 B$ 在摆动过程中最大振幅之比为 $9: 10$
B.若 $m_1=m_2$ ，则每经过 $1.9 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ 时间 $A$ 回到最高点
C. 若 $m_1>m_2$ ，则 $A$ 与 $B$ 第二次碰撞不在最低点
D. 若 $m_1<m_2$ ，则 $A$ 与 $B$ 第二次碰撞必在最低点

解：若 $m_1=m_2$, 则两球碰撞后交换速度, 所以 $A 、 B$ 在摆动过程中最大振幅相等，两球的振动完全一样，所以每经过 $2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ 时间 $A$ 回到最高点, A、B 错误;摆长为 $L$ 的周期为 $T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ ，摆长为 $0.81 L$ 的周期为 $T^{\prime}=1.8 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, 若 $m_1>m_2$, 则碰后 $A$ 球向右运动, 摆长变为 $0.81 L, B$ 球摆回最低点后向左运动时, 摆长为 $0.81 L$, 所以两摆的周期均为 $T^{\prime \prime}=\frac{1}{2} T+\frac{1}{2} T^{\prime}=1.9 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, 即第一次在最低点碰撞后经过一个周期发生第二次碰撞, 位置仍然在最低点, C 错误;
若 $m_1<m_2$ ，则 $A$ 与 $B$ 碰后， $A$ 反弹，两球的摆长一样，周期一样，所以各经过半个周期后，在最低点发生第二次碰撞，D正确。

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