日期: 2024-04-21 17:01 查看: 234 次编辑导出

乘方运算及指数运算律

## 乘方运算
乘法运算就是同一个数的连加运算．由于乘法满足交换律，我们可以将乘法用公式表示它的含义是：

$ n \times a=\underbrace{a+a+\cdots+a}_n $
 
这就是说：$n \times a$就是$n$个$a$的连加．也许有人会问：要是$n$个$a$连乘，会不会又是一种新的运算呢？答案是肯定的．这就是下面要引进的乘方运算．
**同一个数的连乘运算，叫做乘方运算．**
例如：
$3 \times 3$记作$3^2$；即$3^2=3 \times 3=9$．
$3 \times 3 \times 3$记作$3^3$；即$3^3=3 \times 3 \times 3= 27$．
$\underbrace{3  \times  3  \times \cdot  \times  3}_{\text{n个3}}$记作$3^n$；
即$3^n =\underbrace{3 \times 3  \times \cdot   \times  3}_{\text{n个3}}$
．
为了方便，显然可以把3也记作$3^1$，即$3^1=3$．
 一般地，同一个数$a$的$n$ 次连乘，记作$a^n$，即
   $ \underbrace{a\times a \times a \times \cdot \times a}_{\text{n个}}=a^n $

其中$a$叫做**底数**，自然数$n$叫做**指数**，其结果$a^n$叫做幂．（读成“$a$的$n$次幂”或“$a$的$n$次方”）．
特别地，从中可得出：
   $a=a^1$；
   $a\times a=a^2$，$a^2$也叫做“$a$的平方”；
   $a\times a\times a=a^3$，$a^3$也叫做“$a$的立方”．
   
   由于零自连乘仍是零，所以，零的$n$次方总等于零，即 $0^n=0$
   
  ## 指数运算律 (一)
  同底数幂相乘，指数相加，底数不变．即：$ a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
 
 ### 证明
 
 $$
   \begin{align*}
     a^m\cdot a^n &=(\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{\text{$m$个}})\cdot (\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{\text{$n$个}})   \tag{乘方的意义}\\
     &=\underbrace{a\cdot a\cdots a\cdot a\cdot a \cdots a}_{\text{$m+n$个}}\tag{乘法结合律}\\
     &=a^{m+n} \tag{乘方的意义}\\
    \end{align*} 
$$

所以，对于任意底数$a$和任意自然数指数$m, n$，都有：$ a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

后面，我们可以知道，$m,n$是整数、分数，甚至复数上式都成立。

#### 例题1
  计算： $2^3\cdot 4,\qquad 3\times 81 $
  解要利用指数运算律进行计算，必须使两相乘部分成为同底数幂．因此，
$2^3\cdot 4=2^3\cdot 2^2=2^5=32 $
$3\times 81=3\times 3^4=3^5=243$

## 指数运算律 (二)
  乘积的幂，等于各因数的幂相乘，即：
    $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$
### 证明    
由于
$$
\begin{align*}
    (a\cdot b)^n&=\underbrace{(a\cdot b)\cdot(a\cdot b)\cdots(a\cdot b)}_{\text{$n$个括号}} \tag{乘方的意义}\\
    &=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{\text{$n$个}} \cdot \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{\text{$n$个}} \tag{乘法交换、结合率}\\
    &=a^n\cdot b^n \tag{乘方的意义}
\end{align*}
$$
所以$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$．

#### 例题1
计算 $ 125^3 × 8^3 $
解：原式$= (125 × 8)^3$
$=1000^3=1000000000$

## 指数运算律 (三)
幂的乘方，指数相乘，底数不变，即： $(a^m)^n=a^{mn} $
###  证明
$$
 \begin{align*}
        (a^m)^n&= \underbrace{a^m\cdot a^m\cdots a^m}_{\text{$n$个}}     \tag{乘方的意义}\\  
&=\overbrace{\underbrace{(a\cdot a\cdots a)}_{\text{$m$个$a$}}\cdot \underbrace{(a\cdot a\cdots a)}_{\text{$m$个$a$}}\cdots \underbrace{(a\cdot a\cdots a)}_{\text{$m$个$a$}}}^{\text{$n$个括号}}\\
&=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{\text{$mn$个$a$}}\tag{乘法结合律}\\
&=a^{mn}\tag{乘方的意义}
    \end{align*}
$$
 所以$(a^m)^n=a^{mn}$．
 
 #### 例题1
 计算$(ac)^2\cdot (a^m c)^3$
 
 解：
 $$
 \begin{align*}
            (ac)^2\cdot (a^m c)^3&=a^2\cdot c^2\cdot a^{3m}\cdot c^3 \tag{指数运算律（三）}\\
&=(a^2\cdot a^{3m})\cdot (c^2\cdot c^3) \tag{乘法交换、结合律}\\
            &= a^{2+3m}\cdot c^5 \tag{指数运算律（一）}\\
 \end{align*}        
 $$
 
## 指数运算律(四)
同底数幂相除，指数相减，底数不变．即：
 $a^m \div a^n=a^{m-n} $ 其中$m>n$,  $a\ne 0$
 
 ### 证明
  因为$a\ne 0$, $m>n$
$$
\begin{align*}
    a^m \div a^n&=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdots a}^{\text{$m$个$a$}}}{\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{\text{$n$个$a$}}}  \tag{乘方的意义}\\
    &=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdots a}^{\text{$(m-n)$个$a$}}}{1}  \tag{除法的性质}\\
    &=a^{m-n}\tag{乘方的意义}\\
\end{align*}    
$$
所以，当$a\ne 0$时，$m>n$时，就有
 $a^m \div a^n=a^{m-n} $
 
 #### 例题1
 计算 $a^4\div a^4=\frac{a^4}{a^4}$
 解：$a^4\div a^4=\frac{a^4}{a^4}=\frac{a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a}=1\; (a\ne 0) $
 
 这个例题告诉我们，两个同底数(不为0)、同指数的幂相除，其商等于1．这个事实也就启示我们，只要规定：
 $a^0=1\quad (a\ne 0)  $
指数运算法则(四)：$a^m\div a^n=a^{m-n}\; (a\ne 0)$
就对$m=n$的情形仍然有效．
例如：$7^5\div 7^5=7^{5-5}=7^0=1$；
$a^4\div a^4=a^{4-4}=a^0=1\; (a\ne 0)$；
$27^2\div 3^6=3^6\div 3^6=3^0=1$等等．

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