日期: 2023-10-03 10:48 查看: 197 次编辑导出

单位圆

## 三角函数的扩展

初中三角函数是在一个直角三角形中定义的，有一个直角三角形 ABC

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正弦、余弦、正切、余切的定义如下：
$ \sin A=\frac{B C}{A B} \quad \cos A=\frac{A C}{A B} \quad  $

$ \tan A=\frac{B C}{A C} \quad \cot A=\frac{AC}{BC}  $

在引入弧度制后，可以采用类似的定义方法：如下图，不妨设终边最后落在了第一象限上，如下图所示。
![pic](../uploads/2022-10/47e673.jpg){width=250px}

然后过点A作 x 轴的垂线，垂足为 B ，那么我们就有了一个直角三角形 A O B ，于是我们就可以在 这个基础上定义三角函数了。

$  \sin A=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \quad \cos A=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \quad \tan A=\frac{y}{x}  $

类似的，无论终边落在那个象限上我们都可以利用在终边上取一点，做垂线来定义三角函数。并且，在终边上任意取一点，最后得到三角函数值是一样的。因为 $ \triangle A O B \sim \triangle C O D $ , 所以对应 边长成比例。

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但是这样子计算三角函数值也太复杂了，在终边上任取一点坐标，要算到原点的距离还需要求比值。所以为了简化我们的计算，引入了**单位圆**，让 OA  的长度等于  1  。
我们可以过终边与单位圆的交点作垂线，求对应的三角函数值。因为圆周上的点到圆心的距离为 1，于是 $  \sqrt{x^2+y^2}=1 $ ，因此我们可以发现交点的坐标$x $ 和 $ y $ 的值就对应了 $ cos \theta $ 和 $ \sin \theta $ 。

注意：单位圆的距离始终是正数1，所以，正弦、余弦的正负就有坐标值的正负决定

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无论$ \theta $是多少，$ \sin \theta $与$ \cos \theta $ 我们只需要去找终边与单位圆的交点坐标 $ x,y$ 就可以了。

![pic](../uploads/2022-10/394591.jpg){width=400px}

$\sin$ 函数在 第一第二象限为正，第三第四象限为负。

$\cos $函数在 第一第四象限为正，第二第三象限为负。

$ \tan $ 函数在 第一第三象限为正，第二第四象限为负。

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