日期: 2023-11-05 20:25 查看: 166 次编辑导出

倾斜角与斜率

## 倾斜角的定义

线的倾斜角是指直线与x轴相交时形成的锐角或钝角，测量方向为逆时针，倾斜角的取值范围为 $ 0 \leq \theta  \lt 180 $ 。
①在下图中，有两个角度。然而，蓝色的角度是倾斜角的角度，因为它是根据定义逆时针测量的，到斜率是正的。

![图片](../uploads/2022-10/1598e8.jpg)

②下图中，你可以再次看到有两个角度。蓝色的角度又是倾斜角，因为根据定义它是逆时针测量的。请注意，这次角度大于90度，斜率为负
![](../uploads/2022-10/e898ea.jpg)

③事实上，当一条线与$x$ 轴相交时，会形成4个角，如下所示。2个蓝色的角度是对顶角，他们的值相同。同理，2个红色角也是对顶角他们也具有相同的性质。此时红色 θ 不是倾斜角，蓝色θ才是倾斜角。
![](../uploads/2022-10/7aac57.jpg)

## 斜率的定义

当一条直线与坐标系相交时，倾斜角的正切值被称作直线的斜率。如下图 $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tan (\theta)$ ， 其中 $\theta$ 的取值范围为 $0^{\circ} \leq \theta<180^{\circ}$
![](../uploads/2022-10/ce4630.svg)

斜率的通俗解释就是：直线的倾斜程度，把直线想象为山坡，直线斜率越大，表示山坡越陡峭。斜率越小，表示山坡越平坦。
直线的倾斜度与斜率的关系

情况一: 考虑下图，蓝色直线上有两点: $\left(x_1, 0\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$

$$
\begin{aligned}
& m=\frac{y_2-0}{x_2-x_1} \\
& m=\frac{y_2}{x_2-x_1} \\
& \tan \theta=\frac{y_2}{x_2-x_1}
\end{aligned}
$$

所以，斜率等于倾斜角的正切值。

![](../uploads/2022-10/59d54d.jpg)

情况二: 考虑倾斜角为钝角的情况。

$$
\begin{aligned}
m & =\frac{y_2-0}{x_2-x_1} \\
m & =\frac{y_2}{x_2-x_1}
\end{aligned}
$$

请注意: $\theta$ 是 $\theta$ 的补交，因此， $\tan (\theta)=\tan (\theta)=\frac{y_2}{x_2-x_1}$
在这种情况下，斜率也等于倾斜角的正切值。
![](../uploads/2022-10/c161e8.jpg)

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