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数列
等差数列
日期:
2023-10-03 11:05
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等差数列
## 定义 等差数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列,常用 $A 、 P$ 表示。这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母 $d$ 表示。 性质 如果一个等差数列的首项記作 $a$ ,公差记做 $d$ ,那么该等差数列第 $n$ 项的一般项为 $$ a_n=a+(n-1) d $$ 任意一個等差数列 $a_n$ 都可以写成 $$ \{a, a+d, a+2 d, \cdots, a+(n-1) d\} $$ 在一个等差数列中,给定任意两相连项 $a_{n+1}$ 和 $a_n$ ,可知公差 $$ d=a_{n+1}-a_n $$ 给定任意两项 $a_m$ 和 $a_n$ ,则有公差 $$ d=\frac{a_m-a_n}{m-n} $$ 此外,在一个等差数列中,选取某一项,该项的前一项与后一项之和,为原来该项的两倍。举例来说 $$ a_1+a_3=2 a_2 $$ 更一般的有: $a_{n-1}+a_{n+1}=2 a_n$ 证明如下 $$ \begin{aligned} a_{n-1}+a_{n+1} & =[a+(n-2) d]+(a+n d) \\ & =2 a+(2 n-2) d \\ & =2[a+(n-1) d] \\ & =2 a_n \end{aligned} $$ 从另一个角度看,等差数列中的任意一项,是其前一项和后一项的算术平均 $$ a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} $$ 此结果从上面直接可得。 如果有正整数 $m, n, p, q$ ,使得 $m+n=p+q$ ,那么则有: $$ a_m+a_n=a_p+a_q $$ 证明如下 $$ \begin{aligned} a_m+a_n & =[a+(m-1) d]+[a+(n-1) d] \\ & =2 a+(m+n-2) d \\ & =2 a+(p+q-2) d \\ & =[a+(p-1) d]+[a+(q-1) d] \\ & =a_p+a_q \end{aligned} $$ 由此可将上面的性质一般化成 $$ \begin{aligned} & a_{n-k}+a_{n+k}=2 a_n \\ & a_n=\frac{a_{n-k+a_{n \nmid k}}}{2} \end{aligned} $$ 其中 $\mathrm{k}$ 是一个小于 $\mathrm{n}$ 的整数。 等差数列和 一个等差数列的首 $\mathrm{n}$ 项之和,称为等差数列和,记做 $S_n$ ,等差数列求和的公式如下: $$ \begin{aligned} S_n & =\frac{n}{2}\left(a+a_n\right) \\ & =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ & =a n+d \cdot \frac{n(n-1)}{2} \end{aligned} $$ 一个等差数列的和,等于其首项与末项的和,乘以项数除以2。 公式证明如下: 将等差数列和写作以下两种形式: $$ \begin{aligned} & S_n=a+(a+d)+(a+2 d)+\cdots+[a+(n-2) d]+[a+(n-1) d] \\ & S_n=\left[a_n-(n-1) d\right]+\left[a_n-(n-2) d\right]+\cdots+\left(a_n-2 d\right)+\left(a_n-d\right)+a_n \end{aligned} $$ 将两公式相加来消掉公差 $d$ ,可得 $$ 2 S_n=n\left(a+a_n\right) $$ 整理可得第一种形式,代入 $a_n=a+(n-1) d$ ,可得第二种及第三种形式。
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