日期: 2023-11-04 07:21 查看: 190 次编辑导出

倾斜角与斜率

一般地, 给定平面直角坐标系中的一条直线, 如果这条直线与 $x$ 轴相交, 将 $x$ 轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为 $\theta$, 则称 $\theta$ 为这条直线的倾斜角; 如果这条直线与 $x$ 轴平行或重合, 则规定这条直线的倾斜角为 $0^{\circ}$.

这样一来, 平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角, 而且倾斜角的取值范围是 $0^{\circ} \sim 180^{\circ}$. 特别地, 与 $x$ 轴平行或重合 (即与 $y$ 轴垂直)的直线, 倾斜角为 $0^{\circ}$

## 倾斜角的定义

(1) 定义

当直线 $l$ 与 $x$ 轴相交时，取 $x$ 轴作为基准， $x$ 轴正向与直线 $l$ 向上方向之间所成的角 $\alpha$ 叫做直线 $l$ 的倾斜角.

![图片](/uploads/2023-10/bd9387.jpg){width=260px}

特别地，当直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合时，规定 $\alpha=0^{\circ}$.

**(2) 范围**
$\alpha \in\left[0^{\circ}, 180^{\circ}\right) . l$ 与 $x$ 轴垂直时， $\alpha=90^{\circ}$.

一般地, 如果 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 是直线 $l$ 上两个不同的点, 直线 $l$ 的倾斜角为 $\theta$, 则:

$$
\tan \theta=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
$$

## 直线的斜率

(1) 定义

当一条直线与坐标系相交时，倾斜角的正切值被称作直线的斜率。如下图 $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tan \theta$ ， 其中 $\theta$ 的取值范围为 $0^{\circ} \leq \theta<180^{\circ}$  ，当 $ \theta = 90^{\circ} $ 斜率不纯在。

![](../uploads/2022-10/ce4630.svg)

斜率的通俗解释就是：直线的倾斜程度，把直线想象为山坡，直线斜率越大，表示山坡越陡峭。斜率越小，表示山坡越平坦。

当直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合时， $\theta=0^{\circ} ， k=\tan 0^{\circ}=0$;
当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时， $\theta=90^{\circ}, k$ 不存在.

## 斜率公式

经过两点 $P_1\left(x_1, y_1\right), P_2\left(x_2, y_2\right)\left(x_1 \neq x_2\right)$ 的直线的斜率公式是

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

使用斜率公式的时候要注意 $x_1 \neq x_2$ 的前提条件.

**例1**： 已知直线 $l$ 经过点 $A(-1,3)$ 与 $B(2,0)$, 求直线 $l$ 的斜率 $k$ 与倾斜角 $\theta$.
解：因为 $A, B$ 两点的横坐标不相等, 所以斜率

$$
k=\frac{0-3}{2-(-1)}=-1 .
$$

因此 $\tan \theta=-1$, 由 $\theta \in[0, \pi)$ 可知倾斜角 $\theta=135^{\circ}$

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