最后更新: 2025-02-06 21:08 查看: 586 次反馈刷题

直线的倾斜角与斜率

## 直线的倾斜角与斜率
一般地, 给定平面直角坐标系中的一条直线, 如果这条直线与 $x$ 轴相交, 将 $x$ 轴绕着它们的交点按**逆时针**方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为 $\theta$, 则称 $\theta$ 为这条直线的倾斜角; 如果这条直线与 $x$ 轴平行或重合, 则规定这条直线的倾斜角为 $0^{\circ}$.

这样一来, 平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角, 而且倾斜角的取值范围是 $0^{\circ} \le \theta <180^{\circ}$. 特别地, 与 $x$ 轴平行或重合 (即与 $y$ 轴垂直)的直线, 倾斜角为 $0^{\circ}$

## 倾斜角
### 定义
当直线 $l$ 与 $x$ 轴相交时，取 $x$ 轴作为基准， $x$ 轴正向与直线 $l$ 向上方向之间所成的角 $\alpha$ 叫做直线 $l$ 的**倾斜角.**

![图片](/uploads/2023-10/bd9387.jpg){width=260px}

特别地，当直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合时，规定 $\alpha=0^{\circ}$.

### 范围
$\alpha \in\left[0^{\circ}, 180^{\circ}\right) . l$ 与 $x$ 轴垂直时， $\alpha=90^{\circ}$.

一般地, 如果 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 是直线 $l$ 上两个不同的点, 直线 $l$ 的倾斜角为 $\theta$, 则:

$$
\tan \theta=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
$$

## 直线的斜率

### 定义

当一条直线与坐标系相交时，倾斜角的正切值被称作直线的斜率。如下图 $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tan \theta$ ， 其中 $\theta$ 的取值范围为 $0^{\circ} \leq \theta<180^{\circ}$  ，当 $ \theta = 90^{\circ} $ 斜率不纯在。

![](../uploads/2022-10/ce4630.svg)

> 斜率的通俗解释就是：直线的倾斜程度，把直线想象为山坡，直线斜率绝对值越大，表示山坡越陡峭。斜率越小，表示山坡越平坦。

当直线垂直$x$轴时，这时倾斜角为$\frac{\pi}{2}$，但是斜率不纯在。

当直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合时， $\theta=0^{\circ} ， k=\tan 0^{\circ}=0$;
当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时， $\theta=90^{\circ}, k$ 不存在.

### 斜率公式

经过两点 $P_1\left(x_1, y_1\right), P_2\left(x_2, y_2\right)\left(x_1 \neq x_2\right)$ 的直线的斜率公式是

$$
\boxed{
k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
}
$$

使用斜率公式的时候要注意 $x_1 \neq x_2$ 的前提条件.

`例` 已知直线 $l$ 经过点 $A(-1,3)$ 与 $B(2,0)$, 求直线 $l$ 的斜率 $k$ 与倾斜角 $\theta$.
解：因为 $A, B$ 两点的横坐标不相等, 所以斜率

$$
k=\frac{0-3}{2-(-1)}=-1 .
$$

因此 $\tan \theta=-1$, 由 $\theta \in[0, \pi)$ 可知倾斜角 $\theta=135^{\circ}$

`例` 在平面直角坐标系中，画出经过点 $A(2,0)$ ，且斜率分别为 2 与 -2 的直线 $l_1, l_2$ ．

分析 要画出过点 $A(2,0)$ 且斜率为 2 （或 -2 ）的直线，只需再确定直线上异于点 $A$ 的另一个点的位置（即坐标）．

解 设直线 $l_1$ 上另一点 $B$ 的坐标为 $\left(x_1, y_1\right)$ ，根据斜率公式有

$$
2=\frac{y_1-0}{x_1-2}
$$

即 $y_1=2\left(x_1-2\right)$ ．不妨取 $x_1=0$ ，则 $y_1=-4$ ，于是得点 $B$ 的坐标为 $(0,-4)$ ．过点 $A(2,0)$ 及点 $B(0,-4)$ 作直线即为 $l_1$ ，如图

同样地，设直线 $l_2$ 上另一点 $C$ 的坐标为 $\left(x_2, y_2\right)$ ，根据斜率公式有 $-2=\frac{y_2-0}{x_2-2}$,

下图 即 $y_2=-2\left(x_2-2\right)$ ．取 $x_2=0$ ，则 $y_2=4$ ，于是得点 $C$ 的坐标为 $(0,4)$ ．过点 $A(2,0)$ 及点 $C(0,4)$ 作直线即为 $l_2$ ，如图 
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