首页
高中数学
高中物理
微积分
线性代数
概率论
人工智能
赞助本站
在线教程
高中数学
统计与概率
二项分布与超几何分布
日期:
2023-11-05 22:14
查看:
219
次
编辑
导出
二项分布与超几何分布
我们已经知道, 一个伯努利试验是试验结果可记为 “成功” 与 “不成功” 的试验. 现实生活中, 经常需要在相同的条件下将一个伯努利试验重复多次. 例如, 为了观察抛硬币时出现的统计规律性, 可多次重复进行抛硬币这个伯努利试验; 为了了解支持改革的人的比例, 可随机向多人进行访问,询问他们的态度是 “支持” 还是 “不支持”; 等等. 在相同条件下重复 $n$ 次伯努利试验时, 人们总是约定这 $n$ 次试验是相互独立的, 此时这 $n$ 次伯努利试验也常称为 $n$ 次独立重复试验. 例如, 对一批产品进行抽样检查, 每次取一件来判断是否合格, 有放回地抽取 5 次, 就是一个 5 次独立重复试验; 篮球运动员练习投篮 10 次, 可以认为每次投中的概率都相同, 这是一个 10 次独立重复试验. 在 $n$ 次独立重复试验中, 人们经常关心的是 “成功” 出现的次数. 已知某种药物对某种疾病的治愈率为 $\frac{3}{4}$, 现有甲、乙、丙、丁 4 个患有该病的患者服用了这种药物, 观察其中有多少患者会被这种药物治愈. (1) 这能否看成独立重复试验? （2）求出甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈的概率; （3）求出恰有 3 个患者被治愈的概率; (4) 设有 $X$ 人被治愈, 求 $X$ 的分布列. 不难想到, 4 个患者是否会被治愈是相互独立的, 因此尝试与发现中的情形可以看成 4 次独立重复试验. 如果用 $A_1, A_2, A_3, A_4$ 分别表示甲被治愈、乙被治愈、丙被治愈、丁被治愈, 则不难看出 $$ P\left(A_i\right)=\frac{3}{4}, P\left(\bar{A}_i\right)=1-P\left(A_i\right)=\frac{1}{4}, i=1,2,3,4 . $$ 此时, 甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈可以表示为 $A_1 A_2 A_3 \bar{A}_4$, 因此由独立性可知 $$ \begin{aligned} P\left(A_1 A_2 A_3 \bar{A}_4\right) & =P\left(A_1\right) P\left(A_2\right) P\left(A_3\right) P\left(\bar{A}_4\right) \\ & =\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{27}{256} . \end{aligned} $$ 注意到恰有 3 个患者被治愈的情况共有 $\mathrm{C}_4^3$ 种 (4 个人中, 选出 3 个是被治愈的, 剩下的那个是没被治愈的), 即 $$ \bar{A}_1 A_2 A_3 A_4, A_1 \bar{A}_2 A_3 A_4, A_1 A_2 \bar{A}_3 A_4, A_1 A_2 A_3 \bar{A}_4, $$ 这四种情况两两都是互斥的, 而且每一种情况的概率均为 $\left(\frac{3}{4}\right)^3 \times \frac{1}{4}=\frac{27}{256}$,因此所求概率为 $$ \begin{aligned} & P\left(\bar{A}_1 A_2 A_3 A_4+A_1 \bar{A}_2 A_3 A_4+A_1 A_2 \bar{A}_3 A_4+A_1 A_2 A_3 \bar{A}_4\right) \\ = & P\left(\bar{A}_1 A_2 A_3 A_4\right)+P\left(A_1 \bar{A}_2 A_3 A_4\right)+P\left(A_1 A_2 \bar{A}_3 A_4\right)+P\left(A_1 A_2 A_3 \bar{A}_4\right) \\ = & \mathrm{C}_4^3 \times\left(\frac{3}{4}\right)^3 \times \frac{1}{4}=\frac{27}{64} . \end{aligned} $$ 因为共有 4 名患者服用了药物, 所以 $X$ 的取值范围应该是 $$ \{0,1,2,3,4\} \text {, } $$ $$ \begin{aligned} & P(X=0)=\mathrm{C}_4^0 \times\left(\frac{3}{4}\right)^0 \times\left(\frac{1}{4}\right)^4=\frac{1}{256}, \\ & P(X=1)=\mathrm{C}_4^1 \times \frac{3}{4} \times\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{3}{64}, \\ \end{aligned} $$ 因此 $X$ 的分布列为  一般地, 如果一次伯努利试验中, 出现 “成功” 的概率为 $p$, 记 $q=$ $1-p$, 且 $n$ 次独立重复试验中出现 “成功” 的次数为 $X$, 则 $X$ 的取值范围是 $$ \{0,1, \cdots, k, \cdots, n\}, $$ 而且 $$ P(X=k)=\mathrm{C}_n^k p^k q^{n-k}, k=0,1, \cdots, n, $$ 因此 $X$ 的分布列如下表所示.  注意到上述 $X$ 的分布列第二行中的概率值都是二项展开式 $$ (q+p)^n=\mathrm{C}_n^0 p^0 q^n+\mathrm{C}_n^1 p^1 q^{n-1}+\cdots+\mathrm{C}_n^k p^k q^{n-k}+\cdots+\mathrm{C}_n^n p^n q^0 $$ 中对应项的值, 因此称 $X$ 服从参数为 $n, p$ 的二项分布, 记作 $$ X \sim B(n, p) . $$ 一般地, 若有总数为 $N$ 件的甲、乙两类物品, 其中甲类有 $M$ 件 $(M<$ $N)$, 从所有物品中随机取出 $n$ 件 $(n \leqslant N)$, 则这 $n$ 件中所含甲类物品数 $X$是一个离散型随机变量, $X$ 能取不小于 $t$ 且不大于 $s$ 的所有自然数, 其中 $s$是 $M$ 与 $n$ 中的较小者, $t$ 在 $n$ 不大于乙类物品件数 (即 $n \leqslant N-M$ ) 时取 0 ,否则 $t$ 取 $n$ 减乙类物品件数之差 (即 $t=n-(N-M)$ ), 而且 $$ P(X=k)=\frac{\mathrm{C}_M^k \mathrm{C}_{N-M}^{n-k}}{\mathrm{C}_N^n}, k=t, t+1, \cdots, s, $$ 这里的 $X$ 称为服从参数为 $N, n, M$ 的超几何分布, 记作 $$ X \sim H(N, n, M) . $$ 特别地, 如果 $X \sim H(N, n, M)$ 且 $n+M-N \leqslant 0$, 则 $X$ 能取所有不大于 $s$ 的自然数, 此时 $X$ 的分布列如下表所示. 
上一篇：
独立性与条件概率
下一篇：
回归分析的误差
本文对您是否有用？
有用
(
0
)
无用
(
0
)
赞助我们
0
篇笔记
写笔记
更多笔记
提交笔记