最后更新: 2025-04-12 09:48 查看: 371 次反馈刷题

加法原理与乘法原理

## 加法原理与乘法原理
### 加法原理
①假如我们要从甲地到乙地, 可以乘火车、轮船或公共汽车, 火车每天有两班, 轮船有两班, 公共汽车有六班, 问从甲地到乙地有多少种不同的方法?

![图片](/uploads/2025-02/f70cdc.jpg)
 
因为, 从甲地到乙地, 乘火车有两种不同的方法, 乘轮船有两种不同的方法, 乘公共汽车有六种不同的方法. 而每种方法都可以由甲地到达乙地, 因为,从甲地到乙地共有 $2+2+6=10$ 种不同的方法.

②某书架共有三层，第一层放有 3 本不同的数学书，第二层放有 2 本不同的语文书，第三层放有 2 本不同的英语书。从该书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？

分析 从该书架上任取1本书，结果可能是数学书，语文书或英语书．取到数学书，语文书或英语书时分别有 3 种， 2 种或 2 种不同的取法，所以一共有

$$
3+2+2=7
$$

种不同的取法．
一般地说, 有如下原理:
**加法原理**
如果完成某件事有 $n$ 种方式, 在第一种方式中有 $m_1$ 种方法, 在第二种方式中有 $m_2$ 种方法 $\cdots \cdots$ ，在第 $n$ 种方式中有 $m_n$ 种方法. 那么完成这件事共有 $m_1+m_2+\cdots+m_n$ 种不同的方法.

`例`某市的有线电视可以接收中央台 12 个频道，本地台 10 个频道和其他省市 46 个频道的节目．
（1）当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？
（2）如果有 3 个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？

解（1）当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为 3 类：

第一类，选看中央台频道的节目，有 12 个不同的节目；
第二类，选看本地台频道的节目，有 10 个不同的节目；
第三类，选看其他省市频道的节目，有 46 个不同的节目．
根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看

$$
12+10+46=68
$$

个不同的节目．
（2）因为有 3 个频道正在转播同一场球赛，即这 3 个频道转播的节目只有 1 个，而其余频道（共有 $(12+10+46-3)$ 个）正在播放互不相同的节目，所以，一台电视机共可以选看

$$
1+(12+10+46-3)=66
$$

个不同的节目．

用分类加法计数原理解决计数问题时，首先要根据问题的特点确定一个适当的分类标准，然后根据这个分类标准进行分类。分类时还要注意两条基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须分人相应的类；二是不同类的方法必须是互不相同的．只有满足这两条基本原则才可以使计数不重不漏．

### 乘法原理

①从甲地到乙地，需从甲地乘汽车到丙地，再于次日从丙地乘火车到乙地，如果一天内有 4 趟汽车从甲地开往丙地，有 3 列火车从丙地开往乙地，那么两天内从甲地到达乙地有多少种不同的乘车选择？

分析 这个问题与问题 1 不同。在问题 1 中，采用乘汽车或乘火车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地．而在这个问题中，必须经历先从甲地乘汽车到丙地，再从丙地乘火车到乙地这两个步骤，才能够从甲地到乙地．

假定从甲地到丙地的 4 趟汽车分别为 $a, b, c, d$ ，从丙地到乙地的三列火车分别为 $1,2,3$ ，则从甲地到乙地的不同路径为：

$$
a 1, a 2, a 3 ; b 1, b 2, b 3 ; c 1, c 2, c 3 ; d 1, d 2, d 3 .
$$

共有 $4 \times 3=12$（种）不同的乘车选择，如图
 ![图片](/uploads/2025-02/086933.jpg)
 
 ②某书架有三层，第一层放有 3 本不同的数学书，第二层放有 2 本不同的语文书，第三层放有 2 本不同的英语书．从书架的第一，二，三层各取 1 本书，共有多少种不同的取法？

分析 记 3 本不同的数学书分别为 $M_1, M_2, M_3, 2$ 本不同的语文书分别为 $C_1$ ， $C_2, 2$ 本不同的英语书分别为 $E_1, E_2$ ，则从书架的第一，二，三层各取 1 本书的所有可能结果为：

$$
\begin{aligned}
& M_1 C_1 E_1, M_1 C_1 E_2, M_1 C_2 E_1, M_1 C_2 E_2 ; \\
& M_2 C_1 E_1, M_2 C_1 E_2, M_2 C_2 E_1, M_2 C_2 E_2 \text {; } \\
& M_3 C_1 E_1, M_3 C_1 E_2, M_3 C_2 E_1, M_3 C_2 E_2 \text {. }
\end{aligned}
$$

共有 $3 \times 2 \times 2=12$（种）不同的取法，如图

![图片](/uploads/2025-02/d7c44c.jpg)

一般地说, 有如下原理:
**乘法原理**
如果完成某种事需要分成 $n$ 个步骤, 第一步骤有 $m_1$ 种方法, 第二步骤有 $m_2$ 种方法 $\cdots \cdots$, 第 $n$ 步骤有 $m_n$ 种方法, 那么完成这件事共有 $m_1 \cdot m_2 \cdots m_n$ 种不同的方法.

总的来说, 如果完成一种事有几种不同的方法, 这些方法又是互不相关的,任选一种方法都能完成这件事的, 那么完成这件事的方法的总数, 应该用加法计算. 如果完成一件事, 必须分成若干步骤, 每个步骤又有不同的方法, 而且每一步骤中的一种方法完成之后, 都可以开始下一步骤的工作, 依次完成全部步骤, 才能达到完成这一件事的目的, 那么完成这件事的方法的总数应该用乘法计算.

`例` 某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从 3 名教师， 4 名男同学和 5 名女同学当中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）。
（1）如果只需一人主持，共有多少种不同的选法？
（2）如果需要教师，男同学和女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？
解（1）从 3 名教师， 4 名男同学和 5 名女同学当中选出一人主持晚会，结果可分为 3 类：

第一类，选一名教师主持，有 3 种选法；
第二类，选一名男同学主持，有 4 种选法；
第三类，选一名女同学主持，有 5 种选法．
根据分类加法计数原理，共有

$$
3+4+5=12
$$

种不同的选法．
（2）从 3 名教师，4名男同学和 5 名女同学当中各选出一人共同主持晚会，可分 3 步：

第一步，选出一名教师，有 3 种选法；
第二步，选出一名男同学，有 4 种选法；
第三步，选出一名女同学，有 5 种选法．
以上 3 个步骤依次完成后，事情才算完成．根据分步乘法计数原理，共有

$$
3 \times 4 \times 5=60
$$

种不同的选法．
思考：如果需要一名教师和一名学生来共同主持晚会，共有多少种不同的选法？

在使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决问题时，一定要分清完成这件事是有 $n$ 类办法还是有 $n$ 个步骤。分类要做到＂不重不漏＂。分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数。分步要做到＂步骤完整＂——依次完成所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立。分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理求积，得到总数．

`例`  在 300 和 800 之间，有多少个没有重复数字的奇数？

解 一个三位奇数的个位上的数字必是奇数，且因为不允许有重复数字出现，当一个奇数字 $(1, ~ 3, ~ 5, ~ 7, ~ 9)$ 作为个位数时，它就不能作为百位数．所以，符合条件的数可以按百位上的数字是奇数或偶数分成两类：

第一类：百位上的数字是偶数．这样的三位数可以由以下三个步骤确定：

第一步，百位上的数字从 4 和 6 中任选一个，有 2 种选法；
第二步，个位上的数字从 $1, ~ 3, ~ 5, ~ 7, ~ 9$ 中任选一个，有 5种选法；

第三步，十位上的数字从余下的 8 个数字中任选一个，有 8

种选法．
根据乘法原理，这一类奇数的个数为

$$
2 \times 5 \times 8=80
$$

第二类：百位上的数字是奇数．这样的三位数可以由以下三个步骤确定：

第一步，百位上的数字从 3，5，7中任选一个，有 3 种选法；
第二步，个位上的数字从余下的 4 个奇数中任选一个，有 4种选法；

第三步，十位上的数字从余下的 8 个数字中任选一个，有 8种选法。

根据乘法原理，这一类奇数的个数为

$$
3 \times 1 \times 8=96
$$

根据加法原理，在 300 和 800 之间共有

$$
80+96=176
$$

个没有重复数字的奇数．

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