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曲面方程的概念
日期:
2022-12-30 18:42
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本节介绍曲面及曲线方程概念,主要围绕下面两个基本问题:(1) 已知曲面曲线上点的几何特征,建立方程;(2) 已知曲线曲面上的点的 坐标所满足的方程,研究曲面曲线的形状和性质.我们着重介绍一些常见 的曲面曲线及其方程.  我们要研究的两个基本问题是: (1)已知曲面作为点的轨迹时,建立这曲面的方程; (2)已知一个三元方程,研究该方程所表示的几何图形,即曲面形状,着重介 绍一些常见的曲面. 先讨论第一个基本问题: 建立几种常见的曲面方程. 空间一动点到定点的距离为定值,该动点的轨迹称为球面,定点叫做球心, 定值叫做半径. 例 1 建立球心在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ ,半径为 $R$ 的球面的方程. 解 本题实质是求到定点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 的距离为定长 $R$ 的点的轨迹方程,即 球面的方程. 设 $M(x, y, z)$ 是球面上任意一点,则有 $\left|\overrightarrow{M_0 M}\right|=R$ ,即 $$ \sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2}=R $$ 或 $$ \left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2=R^2 . $$ 例 2 求与原点 $O$ 及 $M_0(2,3,4)$ 的距离之比为 $1: 2$ 的点的全体所组成的曲面 方程. 解 设 $M(x, y, z)$ 是曲面上任一点,根据题意有 $\frac{|M O|}{\left|M M_0\right|}=\frac{1}{2}$, 即 $$ \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2+(z-4)^2}}=\frac{1}{2}, $$ 所求方程为 $$ \left(x+\frac{2}{3}\right)^2+(y+1)^2+\left(z+\frac{4}{3}\right)^2=\frac{116}{9} . $$ 例 3 求到两定点 $A(1,2,3)$ 和 $B(2,-1,4)$ 等距离的点的几何轨迹. 解 设 $M(x, y, z)$ 是所要求的曲面上任意一点,则由题意 $$ (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=(x-2)^2+(y+1)^2+(z-4)^2, $$ 化简得 $$ 2 x-6 y+2 z-7=0 . $$ 由方程可知,这是一个平面. 以上是从已知曲面 (轨迹) 建立其方程,再看两个由已知方程研究它所表示 的曲面的例子. 例 4 方程 $x^2+y^2+z^2-2 x+4 y=0$ 表示什么样的曲面? 解 原方程可写成如下形式 $$ (x-1)^2+(y+2)^2+z^2=5 \text { , } $$ 可看出它表示球心在点 $M_0(1,-2,0)$ , 半径 $R=\sqrt{5}$ 的球面. 例 5 方程 $z=(x-1)^2+(y-2)^2-1$ 的图形是怎样的?  解 根据题意有 $z \geq-1$, 用平面 $z=c$ 去截图形得圆: $$ (x-1)^2+(y-2)^2=1+c \quad(c \geq-1), $$ 当平面 $z=c$ 上下移动时,得到一系列圆,圆 心在 $(1,2, c)$, 半径为 $\sqrt{1+c}$, 半径随 $c$ 的增大而增大. 图形上不封顶,下封 底. 如图 5-46 所示.
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2022-12-30 18:42
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