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第一章 函数、连续与极限
集合的概念(微积分)
日期:
2023-10-24 13:57
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集合的概念(微积分)
**集合** 具有某种确定性质的对象的全体称为集合（简称集），组成集合的个别 对象称为集合的元素. 习惯上，用大写英文字母 $A, B, C, \cdots$ 表示集合， 用小写字母 $a, b, c, \cdots$ 表示集合的元素. $a \in A$ 表示 $a$ 是集 $A$ 的元素 (读作 $a$ 属于 $A$ )， $a \notin A$ 表示 $a$ 不是集 $A$ 的元素（读作 $a$ 不属 于 $A$ ). 集合按照元素的个数分为有限集和无限集，不含任何元素的 集合称为空集，记为 $\varnothing$. 我们把自然数的全体组成的集合称为自然数集，记作 $\mathrm{N}$. 由整数的全体 构成的集合称为整数集，记为 $\mathrm{Z}$. 用 $\mathrm{Q}$ 表示全体有理数构成的有理数集， $\mathrm{R}$ 表示全体实数构成的实数集. 显然有 $\mathrm{N} \subset \mathrm{Z} \subset \mathrm{Q} \subset \mathrm{R}$. 如果是正整数集，则记为 $Z^{+}$，负整数集记为 $Z^{-}$，以此类推. 注：在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集. **集合及其运算** 集合的基本运算有四种: 并、交、差、补. 设 $A, B$ 是两个集合. 由同时包含于 $A$ 与 $B$ 的元素构成的集合 (见图 1-2)，称为 $A$ 与 $B$ 的交集（简称交），记作 $A \cap B$ ，即 $A \cap B=\{x \mid x \in A \text { 且 } x \in B\}_{\text {～}}$ 由包含于 $A$ 或包含于 $B$ 的所有元素构成的集合（见图 1-3），称为 $A$ 与 $B$ 的并集（简称并），记作 $A \cup B$ ，即 $A \cup B=\{x \mid x \in A$ 或 $x \in B\}$ ；  由包含于 $A$ 但不包含于 $B$ 的元素构成的集合 (见图 1-4)，称为 $A$ 与 $B$ 的差集 (简称差)，记作 $A \backslash B$ ，即 $A \backslash B=\{x \mid x \in A$ 且 $x \notin B\}$ ； 特别地，若我们所讨论的问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为 $U$ ) 中进行，集合 $A$ 是 $U$ 的子集 (见图 1-5)，此时称 $U \backslash A$ 为 $A$ 的余集 (或补集)，记作 $C_U A$ 或 $A^C$.  关于集合的余集，我们有如下性质. 性质1 (对偶性质) 设 $U$ 是一个基本集， $A, B$ 是它的两个子集，则 $ (A \cup B)^C=A^C \cap B^C$ $ (A \cap B)^C=A^C \cup B^C$ 除了集合的四种基本运算，我们还可以定义两个集合的乘积. 设 $A, B$ 是两个非空的集合，则由有序数对 $(x, y)$ 组成的集合 $$ A \times B=\{(x, y) \mid x \in A, y \in B\} $$ 称为 $A$ 与 $B$ 的直积. 例如： 设 $A=[0,1], B=[0,2]$ 则 $A \times B=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2\}$ ， 如图 1-6所示. $\mathrm{R} \times \mathrm{R}=\{(x, y) \mid x, y \in \mathrm{R}\}$ 即为 $x O y$ 面上全体点 的集合， $\mathrm{R} \times \mathrm{R}$ 常记作 $\mathrm{R}^2$. 
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