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利用极限定义证明

## 利用极限定义证明

>本节内容通常用于数学系的严格论证。

`例` 证明 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^2}{x^2+2}=2$.
证明 $\forall \varepsilon>0$ ，要使

$$
|f(x)-A|=\left|\frac{x^2}{2 x^2+1}-2\right|=\frac{4}{2 x^2+1}<\frac{4}{|x|}<\varepsilon(|x|>1)
$$

即 $|x|>\frac{4}{\varepsilon}$
取 $X=\max \left\{1, \frac{4}{\varepsilon}\right\}$ ，则当 $|x|>X$ 时，恒有

$$
|f(x)-A|=\left|\frac{2 x^2}{x^2+2}-2\right|<\varepsilon ，
$$

即 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^2}{x^2+2}=2$

`例` 证明 $\lim _{x \rightarrow 1}(4 x-1)=3$.
证明 $\forall \varepsilon>0$ ，要使

$$
|f(x)-A|=|4 x-1-3|=4|x-1|<\varepsilon
$$

只要 $|x-1|<\frac{\varepsilon}{4}$ ，取 $\delta=\frac{\varepsilon}{4}$ ，则当 $0<|x-1|<\delta$ 时，有

$$
\begin{gathered}
|f(x)-A|=|4 x-1-3|<\varepsilon \\
\lim _{x \rightarrow 1}(4 x-1)=3
\end{gathered}
$$

## 极限计算方法

`例` 求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^n, a, b>0$ ．
解 先求 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}}{2}\right)^x\left(1^{\infty}\right.$ 型）．$I=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}-2}{2}\right)^x$ ，又

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}-2}{2} \cdot x=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}-2}{x^{-1}}=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(a^{\frac{1}{x}} \ln a+b^{\frac{1}{x}} \ln b\right) \cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2} \ln a b=\ln \sqrt{a b},
$$

以 $I= e ^{\ln \sqrt{a b}}=\sqrt{a b}$ ．因为数列可看作函数的子序列，所以原式 $=\sqrt{a b}$ ．

利用有界性计算极限，参考下例
`例` 设 $x_1=1, x_n=1+\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+1}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．
解 $x_1=1, x_2=1+\frac{x_1}{x_1+1}=1+\frac{1}{2}>x_1$ ，设 $x_n>x_{n-1}$ ，验证 $x_{n+1}>x_n$ ．
因 $x_{n+1}-x_n=1+\frac{x_n}{1+x_n}-\left(1+\frac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}\right)=\frac{x_n-x_{n-1}}{\left(1+x_n\right)\left(1+x_{n-1}\right)}>0$ ，所以 $\left\{x_n\right\}$ 单增．又 $x_n=1+\frac{\left(x_{n-1}+1\right)-1}{x_{n-1}+1}=2-\frac{1}{x_{n-1}+1}<2,\left\{x_n\right\}$ 有上界，故 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在．设 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=l$ ，在 $x_n=1+\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+1}$ 两边取 $n \rightarrow \infty$ 时的极限，得

$ l=1+\frac{l}{l+1} \Rightarrow l_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, l_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2} $
舍去复数，所以

$\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\frac{1+\sqrt{5}}{2} $

用定积分求极限
`例` 设 $s_n=1+2 x+3 x^2+\cdots+n x^{n-1}$ ，当 $|x|<1$ 时，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n$ ．

解

$$
\begin{aligned}
s_n & =\left(1+x+x^2+\cdots+x^n\right)^{\prime}=\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)^{\prime}=\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{(n+1) x^n(1-x)+x^{n+1}}{(1-x)^2} \\
& =\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{(n+1) x^n-n x^{n+1}}{(1-x)^2} .
\end{aligned}
$$

因为 $|x|<1, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1) x^n-n x^{n+1}}{(1-x)^2}=0$ ，所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n=\frac{1}{(1-x)^2}$ ．

`例` 计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n^2+1}+\frac{n+2}{n^2+4}+\frac{n+3}{n^2+9}+\cdots+\frac{n+n}{n^2+n^2}\right)$ ．
解

$$
\begin{aligned}
I & =\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n^2+1}+\frac{n+2}{n^2+4}+\frac{n+3}{n^2+9}+\cdots+\frac{n+n}{n^2+n^2}\right) \\
& =\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{n+i}{n^2+i^2}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1+\frac{i}{n}}{1+\left(\frac{i}{n}\right)^2}=\int_0^1 \frac{1+x}{1+x^2} d x=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \ln 2 .
\end{aligned}
$$

`例`计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{i j}{n^4}$ ．
解 $I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{i j}{n^4}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{i}{n} \cdot \frac{i}{n}=\int_0^1 \int_0^1 x y d x d y=\frac{1}{4}$ ．

$n$ 个因子乘积，当 $n \rightarrow \infty$ 时的极限
解法 $1^{\circ}$ 式子中分子，分母同乘以或除以一个因子，使之发生连锁变化。
解法 $2^{\circ}$ 将通项分解成两个因子乘积的形式，打开各个括号，将中间各因子消掉，只剩首尾．
解法 $3^{\circ}$ 利用夹逼定理。
$*$ 解法 $4^{\circ}$ 利用对数恒等式 $N= e ^{\ln N}$ 化为 $n$ 项和的极限．
 
`例`（1）当 $|x|<1$ 时，求 $\lim _{n \rightarrow \infty}(1+x)\left(1+x^2\right) \cdots\left(1+x^{2^n}\right)$ ；
（2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$ ；

（1）

$$
\begin{aligned}
& I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(1-x)(1+x)\left(1+x^2\right) \cdots\left(1+x^{2^n}\right)}{(1-x)}=\frac{1}{1-x} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right) \cdots\left(1+x^{2^n}\right)=\cdots \\
& =\frac{1}{1-x} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-x^{2^{n+1}}\right)=\frac{1}{1-x}, \quad\left(\text { 因 }|x|<1, \text { 故 } x^{2^{n+1}} \rightarrow 0\right) .
\end{aligned}
$$

（2）因为 $\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{k-1}{k} \cdot \frac{k+1}{k}$ ，所以

$I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}\right)\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3}\right) \cdots\left(\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n+1}{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{n+1}{n}=\frac{1}{2} . $

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