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高等数学
第一章 函数、连续与极限
利用极限定义证明
日期:
2023-10-01 11:28
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利用极限定义证明
这一节介绍数列及函数极限性质， 读者可以深入理解和熟悉极限的定义，同时为引入新的极限计算方式打下基础. 本节可作为对极限要求较高的专业的选学内容. 例2 证明 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^2}{x^2+2}=2$. 证明 $\forall \varepsilon>0$ ，要使 $$ |f(x)-A|=\left|\frac{x^2}{2 x^2+1}-2\right|=\frac{4}{2 x^2+1}<\frac{4}{|x|}<\varepsilon(|x|>1) $$ 即 $|x|>\frac{4}{\varepsilon}$ 取 $X=\max \left\{1, \frac{4}{\varepsilon}\right\}$ ，则当 $|x|>X$ 时，恒有 $$ |f(x)-A|=\left|\frac{2 x^2}{x^2+2}-2\right|<\varepsilon ， $$ 即 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^2}{x^2+2}=2$ 例3 证明 $\lim _{x \rightarrow 1}(4 x-1)=3$. 证明 $\forall \varepsilon>0$ ，要使 $$ |f(x)-A|=|4 x-1-3|=4|x-1|<\varepsilon $$ 只要 $|x-1|<\frac{\varepsilon}{4}$ ，取 $\delta=\frac{\varepsilon}{4}$ ，则当 $0<|x-1|<\delta$ 时，有 $$ \begin{gathered} |f(x)-A|=|4 x-1-3|<\varepsilon \\ \lim _{x \rightarrow 1}(4 x-1)=3 \end{gathered} $$
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