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高等数学
第一章 函数、连续与极限
函数的间断点
日期:
2023-10-01 11:28
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函数的间断点
按函数在一点处连续的定义，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，是指 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=f\left(x_0\right)$ ， 即需要 $f\left(x_0\right)$ 有定义； 而要考虑极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 则需 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定 义作为前提条件. 设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某空心邻域内有定义，且函数 $f(x)$ 有下列三种情形之一: (1) 在 $x=x_0$ 处没有定义； (2) 虽然在 $x=x_0$ 处有定义，但 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 不存在 $f\left(x_0^{+}\right) ， f\left(x_0^{-}\right)$之一不存在， 或 两者存在但不相等)； (3) 虽在 $x=x_0$ 处有定义， $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，但 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \neq f\left(x_0\right)$ ，则称函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处间断(不连续). $x_0$ 称为 $f(x)$ 的间断点， 或不连续点. 例如，函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处没有定义，即知 $x=0$ 是它的间断点(见图1-56). 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}|x| & x \neq 0 \\ 1 & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处 $\lim _{x \rightarrow 0}|x|=0 \neq f(0)$ ，即知 $x=0$ 是它的间断点(见图1-57).  假设 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的间断点，按其单侧极限是否存在，分为第一间断点与 第二间断点， 具体分法如下. **第一类间断点** (1) 若 $f\left(x_0^{+}\right) 、 f\left(x_0^{-}\right)$存在，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的第一类间断点. 如果 $f\left(x_0^{+}\right)=f\left(x_0^{-}\right) \quad\left(\lim _{x \rightarrow 0} f(x)\right.$ 存在)，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的可去间断点. 这时 可能出现的情况为，函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处无定义， 或有定义但 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x) \neq f\left(x_0\right)$ ， 故可通过补充或修改该点的函数值，使函数在该点处连续. 例 $3 f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处无定义， 但 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ ，因此 $x=0$ 为 $(x)$ 的第 一类间断点(见图1-58)，为可去间断点. 若补充 $f(0)=1$ ， 则 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续. 如果 $f\left(x_0^{+}\right) \neq f\left(x_0^{-}\right)$，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的跳跃间断点.  例4 函数 $f(x)= \begin{cases}\frac{x^2-9}{x-3}, & x>3, \\ x-1, & x \leq 3\end{cases}$ 在 $x=3$ 处有定义， $f(3)=2$ ， $$ \begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{x^2-9}{x-3}=\lim _{x \rightarrow 3^{+}}(x+3)=6, \\ & \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 3^{-}}(x-1)=2, \\ & f\left(3^{+}\right) \neq f\left(3^{-}\right), \end{aligned} $$ 知 $x=3$ 为函数 $f(x)$ 的第一类间断点 (见图1-59），为跳跃间断点.  **第二类间断点** (2) 若 $f\left(x_0^{+}\right) 、 f\left(x_0^{-}\right)$中至少有一个不存在，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的第二类 间断点. 不是第一类间断点的，均是第二类间断点. 如果 $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=\infty$ 或 $\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=\infty$ ，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的无穷间断点. 例 $5 f(x)=\tan x$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处无定义，又 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} f(x)=\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan x=\infty ，$ 则 $x=\frac{\pi}{2}$ 为函数的第二 类间断点(见图1-60)，为无穷间断点.  例6 $ f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处无定义，又当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sin \frac{1}{x}$ 在 $[-1,1]$ 之间变动无限多 次，故 $x=0$ 为 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 的第二类间断点(见图1-61 )，为振荡间断点.  例7 讨论 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n}{1+x^n}(x \geq 0)$ 的连续性. 解 当 $x \in[0,1)$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x^n=0 ， f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n}{1+x^n}=0$ ； 当 $x=1$ 时， $f(x)=\frac{1}{2}$ ； 当 $x \in(1,+\infty)$ 时， $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n}{1+x^n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x^n}}=1$ ，即 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & x \in[0,1) \\ \frac{1}{2}, & x=1 \\ 1, & x \in(1,+\infty) \end{array}\right. $$ 因此 $f(x)$ 在 $[0,1) ，(1,+\infty)$ 内连续. $x=1$ 是 $f(x)$ 的跳跃间断点. 例8 讨论函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi}{2} x, & |x| \leq 1, \\ |x-1|, & |x|>1\end{array}\right.$ 的间断点. 解 在 $x=-1$ 处， $f\left(-1^{-}\right)=\lim _{x \rightarrow-1} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1}|x-1|=2$ ， $$ f\left(-1^{+}\right)=\lim _{x \rightarrow 1^{-1}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1} \cos \frac{\pi}{2} x=0, $$ 因此 $x=-1$ 是 $f(x)$ 的跳跃间断点； 在 $x=1$ 处， $f\left(1^{-}\right)=\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1} \cos \frac{\pi}{2} x=0$ ， $f\left(1^{+}\right)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}|x-1|=0$ ，因此 $x=1$ 是 $f(x)$ 的连续点.
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