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高等数学
第一章 函数、连续与极限
最大值和最小值定理
日期:
2023-10-01 11:28
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最大值和最小值定理
定理 5 (最大值和最小值定理) 若函数 $f(x)$ 在闭 区间上连续,则该函数在该闭区间上必有界,且 有最大值和最小值. 定理 5 也可叙述为,若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 则至少存在一点 $\xi_1 \in[a, b]$ ,使 $f\left(\xi_1\right)=M=\max _{x \in[a, b]} f(x)$; 至少存在一点 $\xi_2 \in[a, b]$ ,使 $f\left(\xi_2\right)=m=\min _{x \in[a b]} f(x)$ (见 图1-63). 从而有 $m \leq f(x) \leq M$ , 则取 $K=\max \{|m|,|M|\}$ ,使 $|f(x)| \leq K , x \in[a, b]$ ,即 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界. ![图片](/uploads/2022-12/image_202212279892207.png) 方程 $f(x)=0$ 的根称为函数 $f(x)$ 的零点. 是不是所有的函数都有零点呢? 如图1-64所示,函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上恒大于零, 所以无零点; 而在图1-65中,虽然 $f(a)>0, f(b)<0 ,[a, b]$ ,但是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上也没有零点. 那么需要什么条件才能使函数必有零点? ![图片](/uploads/2022-12/image_20221227092f9aa.png)
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