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高等数学
第一章 函数、连续与极限
零点定理与介值定理
日期:
2023-10-01 11:28
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零点定理与介值定理
**零点定理** 定理 6 (零点定理) 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,且 $f(a) \cdot f(b)<0$ ,则至少存在 一点 $\xi \in(a, b)$ ,使 $f(\xi)=0$. 从几何上看,如果连续曲线弧 $y=f(x)$ 的两个端点位于 $x$ 轴的不同侧,那么这 段曲线弧与 $x$ 轴至少有一个交点(见图1-66). ![图片](/uploads/2022-12/image_2022122770dacb0.png) **介值定理** 定理 7 (介值定理) 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,且 $f(a)=A , f(b)=B$ $(A \neq B)$ ,则对于 $A 、 B$ 之间的任意一个数 $C$ , 在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ , 使 $f(\xi)=C$. 进一步,函数必取得介于最小值 $M$ 和最大值 $m$ 之间的任何值(见 图1-67). ![图片](/uploads/2022-12/image_20221227aac06bf.png) 例12 试证方程 $x 2^x=1$ 至少有一个小于 1 的正根. 证明 设 $f(x)=x 2^x-1 , f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,且 $f(0)=-1<0 , f(1)=2-1=1>0$ ,即 $f(0) f(1)<0$. 由零点定理,知至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ ,使 $f(\xi)=0$ 即方程 $x 2^x=1$ 至少有一个小于 1 的正根. 例13 估计方程 $x^3-6 x+2=0$ 的根的位置. 解 令 $f(x)=x^3-6 x+2$ $$ \begin{aligned} & f(-3)=-7<0, f(-2)=6>0, f(-1)=7>0 \quad f(0)=2>0 , f(1)=-3<0 , \\ & f(2)=-2<0, \quad f(3)=11>0 . \end{aligned} $$ 由于三次方程至多有三个实根, 因此方程 $x^3-6 x+2=0$ 在 $(-3,-2) ,(0,1) ,(2,3)$ , 内各有一实根. 例14 如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,且 $f(a)<a , f(b)>b$, 证明在 $(a, b)$ 内至少 有一 $c$ ,使 $f(c)=c$. 证明 令 $g(x)=f(x)-x, g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,且 $g(a)=f(a)-a<0 , g(b)=f(b)-b>0$ , 由零点定理,知至少存在 $c \in(a, b)$ ,使 $g(c)=0$ ,即 $f(c)=c$.
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