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课外阅读：调和级数

## 历史

「调和」，实际上也就是「和谐」，现有文献表明，它是由古希腊毕达哥拉斯学派最早发现、命名并加以系统研究的一个数学概念。「调和数」是毕达哥拉斯学派从琴弦长度的研究上发现的一种数量关系。他们发现，一根拉紧的琴弦（ 1 倍长的琴弦）如果弹出某个音调，比如说是do，那么取其 1/2& 弦长，弹出的音调就是高八度的do，取其 2/3 弦长，就会弹出高五度的so。和谐的声音是琴弦长度的比例造成的，于是，毕达哥拉斯学派就把能够生成谐音的这些表示弦长比例的数也认为是和谐的。那么，这些和谐的数究竟有什么奇妙的特征呢？注意到

$$
\dfrac{1}{2}  : \dfrac{2}{3} : 1  =3:4:6
$$

它们的倒数刚好构成等差数列. $ 2,\dfrac{3}{2},1 $ 和 $ 13,14,16 $,也就是说：如果一个数列各项取倒数后成等差数列，那么原数列就称为调和数列，即和谐的一列数。

调和级数事实上是数列$ 1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4}...\dfrac{1}{n},$的和。这个数列各项的倒数 $ 1,2,3,4,5,6...n $
显然就是等差数列，于是它们各项本身 确实也就构成了一个调和数列。

**发散性**

设调和级数的和为S，即

$ S=1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}+... +\dfrac{1}{n}$

那么此和是发散的。

对刚接触这个级数的人而言，调和级数是违反直觉的——尽管随着
n不断增大$\dfrac{1}{n}$ 却无限接近0，但它却是一个发散级数。

**证法1：**

$$
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} =
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right.
$$

$$
\ge \sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil}\,\!
$$

$$
= 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] 
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right.\,\!
$$

$$
= 1 +\ \frac{1}{2}\ + \qquad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots \,\!\;=\;\; \infty.
$$

因此该级数发散。

**证法2：**
通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑下图中长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高$\frac{1}{n}$个单位（换句话说，每个长方形的面积都是$\frac{1}{n}$），所以所有长方形的总面积就是调和级数的和：
矩形面积和:
$= 1 +  \frac{1}{2}  +  \frac{1}{3}  +  \frac{1}{4}  +  \frac{1}{5} + \cdots. $
而曲线$y=\frac{1}{x}$ 以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出：
曲线下面积:
$ = \int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx =  \infty. $
由于这一部分面积真包含于（换言之，小于）长方形总面积，长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确地说，这证明了：

$$
\sum_{n=1}^k  \frac{1}{n}  \gt \int_1^{k+1} \frac{1}{x} dx = \ln(k+1)
$$

![图片](/uploads/2022-11/f1d089.svg)

证3  这是 James Bernoulli 的证明（引自［29］）．他发现对任意的正整数 $n$ ，有

$$
\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n^2}>\frac{n^2-n}{n^2}=1-\frac{1}{n}
$$

因此得到不等式

$$
\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{n^2}>1
$$

由于 $n$ 是任意的，这样就知道

$$
\begin{aligned}
S_4 & =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>2 \\
S_{25} & =S_4+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{25}>3
\end{aligned}
$$

依此类推，可见数列 $\left\{S_n\right\}$ 不可能收敛．

证 4  用反证法．若 $\left\{S_n\right\}$ 收敛，记 $S=\lim _{n \rightarrow \infty} S_n$ ．分拆 $S_{2 n}=A_n+B_n$ ，其中

$$
\begin{aligned}
& A_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1} \\
& B_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{2 n}
\end{aligned}
$$

由于 $B_n=\frac{1}{2} S_n$ ，因此 $\lim _{n \rightarrow \infty} B_n=\frac{1}{2} S$ ．但由此又可以计算出

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} A_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(S_{2 n}-B_n\right)=\frac{1}{2} S .
$$

比较 $A_n$ 和 $B_n$ ，则对每个 $n$ 都有 $A_n-B_n>\frac{1}{2}$ ，因此 $\left\{A_n\right\}$ 和 $\left\{B_n\right\}$ 收玫于同一个极限值是不可能的．

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