最后更新: 2024-10-01 16:12 查看: 324 次反馈刷题

函数的最大值与最小值

## 函数的最大值与最小值
在实际工程中常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”“用料最省”“成本最低”“效率最高”……这类问题可归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值、最小值问题(设计最佳方案)。该类问题的难点在于， 如何利用已知的信息，建立既符合实际又易运算的函数(模型).在 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=307 介绍了函数极值的意义。

极值的概念是局部性的，是描述函数在某一点邻域内的性态. 这一节研究函数, 在一个区间上的最大值、最小值问题. 由闭区间上连续函数的性质知，若   $f(x)$      在 $[a,b]$ 上连续，$f(x)$    在 $[a,b]$        上一定取得最大值和最小值.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228eb3cc96.png)

从数学的角度看问题，可以由下列过程求最大值和最小值.
(1) 找出 $(a, b)$ 内所有驻点及不可导点 $x_i(i=1,2, \cdots, m)$
(2) 比较 $f\left(x_i\right)(i=1,2, \cdots, m)$ 及 $f(a)$ 与 $f(b)$ 的大小；
(3) 最大值 $\quad M=\max \left\{f\left(x_1\right), f\left(x_2\right), \cdots, f\left(x_m\right), f(a), f(b)\right\}$ 最小值 $\quad m=\min \left\{f\left(x_1\right), f .\left(x_2\right), \cdots, f\left(x_m\right), f(a), f(b)\right\}$

`例` 求函数 $f(x)=x^4-2 x^2+5$ 在区间 $[-2,2]$ 上的最大值和最小值.
解 由 $f^{\prime}(x)=4 x^3-4 x=4 x(x-1)(x+1)$
令 $f^{\prime}(x)=0$ 解得函数在 $(-2,2)$ 内的驻点 $x_1=-1 ，  x_2 = 0 , x_3=1$ 在驻点的函数 值为 $f(-1)=4 ; f(0)=5 \quad f(1)=4$
在端点的函数值为  $f(-2)=f(2)=13 $，
比较上面5个点，可得 最大值为 $f(2)=f(-2)=13$,最下值为$f(1)=f(-1)=4$

`例` 求函数 $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值和最小值.
解 由 $f^{\prime}(x)=\frac{1 \cdot\left(1+x^2\right)-x \cdot(2 x)}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac{(1-x)(1+x)}{\left(1+x^2\right)^2}$
令 $f^{\prime}(x)=0$ 解得函数在 $(0,2)$ 内的驻点为 $x=1$ 在驻点的函数值为 $f(1)=\frac{1}{2}$ ， 在端点的函数值为 $f(0)=0 ， f(2)=\frac{2}{5}$ ，故在区间 $[-2,2]$ 上的最大值为 $f(1)=\frac{1}{2}$ 最小值为 $f(0)=0$.

## 极值举例
若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有唯一驻点，且此驻点为极大 (小) 值，则此极大 (小) 值 必为最大 (小) 值.

`例` 由直线 $y=0, x=8$ 及 抛物线 $y=x^2$ 围成一个曲边三角形，在曲边 $y=x^2$ 上求一点，使曲线在该点处的切线与直线 $y=0$ 及 $x=8$ 所围成的三角形面积最大.

解 设 $P\left(x_0, y_0\right)$ 为抛物线 $y=x^2$ 上任意一点，该点处的切线斜率 $k=2 x_0$, 过该 点的切线为 $y-y_0=2 x_0\left(x-x_0\right)$ 即 $y=2 x_0 x-y_0$ 则此切线与 $x$ 轴的交点为 $A\left(\frac{x_0}{2}, 0\right)$ 与 直线 $x=8$ 的交点为 $B\left(0,16 x_0-x_0^2\right)$ (见图2-62). 根据几何分析，所求三角形面积为

$$
S=\frac{1}{2}\left(8-\frac{1}{2} x_0\right)\left(16 x_0-x_0^2\right)\left(0 \leq x_0 \leq 8\right) \text {, }
$$

由 $S^{\prime}=\frac{1}{4}\left(3 x_0^2-64 x_0+16 \times 16\right)=0$ ，解得区间 $(0,8)$
内的唯一驻点 $x_0=\frac{16}{3}$. 因为 $S "\left(\frac{16}{3}\right)=-8<0$ 所以
$S\left(\frac{16}{3}\right)=\frac{4096}{27}$ 为极大值，故 $x_0=\frac{16}{3}$ 时所围成的三角形面积最大.
![图片](/uploads/2022-12/image_2022122811bdd44.png)

在很多实际问题中，上述求最大值、最小值的方法还可进一步简化. 如果根据问题 的性质，我们可以断定可导函数 $f(x)$ 确有最大值（或最小值），而且该最大值 (或最小值) 一定在定义区间的内部取得. 这时，如果方程 $f^{\prime}(x)=0$ 在定义 区间内部只有 $x_0$ 一个根 $f(x)$ (函数 在定义区间内部只有 $x_0$ 唯一驻点 ) ），那么不必讨论 $f\left(x_0\right)$ 是否是极值，就可以断定 $f(x_0)$ 必为所求的最大值（或最小值）.

`例` 某工厂需要围建一个面积为 $512 m^2$ 的矩形堆料场，一边可以利用原有的 墙壁，其他三边需要砌新的墙壁. 问：堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所 用的材料最省?
解 要求原料最省，就是要求新砌的墙壁总长度最短.
如图2-63所示，设场地的宽为 $x(m)$ ，为使场地面积等于
$512 m^2$ ， 则长为 $\frac{512}{x}(\mathrm{~m})$ ， 因此新墙的总长度为 $l=2 x+\frac{512}{x}$
$(x>0)$ ，这就是目标函数. 下面讨论 $x$ 为何值时， $l$ 取得最
小值。为此，求 $l$ 对 $x$ 的导数 $l^{\prime}=2-\frac{512}{x^2}$. 解方程 $l^{\prime}=0$ ， 得 $x=16$.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221228251f716.png)

`例` 某房地产公司有 50 套公寓要出租，当租金定为每月 180 元时，公寓会全 部租出去. 当租金每月增加 10 元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月 需花费20元的整修维护费.试问：房租定为多少可获得最高收入?
解 设房租为每月 $x$ 元，租出去的房子有套，每月总收入为 $R(x)=(x-20)\left(50-\frac{x-180}{10}\right)=(x-20)\left(68-\frac{x}{10}\right)$, $R^{\prime}(x)=\left(68-\frac{x}{10}\right)+(x-20)\left(-\frac{1}{10}\right)=70-\frac{x}{5}$, 解 $R^{\prime}(x)=0$, 得 $x=350$ (唯一驻点).
故每月每套租金为 350 元时，收入最高。最高收入为 $R(350)=10890$ (元).

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