日期: 2023-10-01 11:28 查看: 163 次编辑导出

曲线积分在物理上应用

设曲线型构件在 $x O y$ 面上占据的位置是一段曲线弧 $L$ ，在 $L$ 上的点 $(x, y)$ 处 的构件的线密度为 $\rho(x, y)$ ，且 $\rho(x, y)$ 在 $L$ 上连续，则和解决平面薄片的同类问题 一样，应用元素法，就可以得到平面曲线弧状构件的质量

$$
M=\int_L \rho(x, y) \mathrm{d} s ；
$$

曲线型构件的质心坐标为

$$
\bar{x}=\frac{\int_L x \rho(x, y) \mathrm{d} s}{M}, \bar{y}=\frac{\int_L y \rho(x, y) \mathrm{d} s}{M} ；
$$

如果是匀质的曲线型构件，则对应的形心公式为

$$
\bar{x}=\frac{\int_L x \mathrm{~d} s}{\int_L \mathrm{~d} s}, \bar{y}=\frac{\int_L y \mathrm{~d} s}{\int_L \mathrm{~d} s} ;
$$

而曲线型构件对于 $x O y$ 面上的 $x$ 轴和 $y$ 轴的转动惯量分别为

$$
I_x=\int_L x^2 \rho(x, y) \mathrm{d} s, \quad I_y=\int_L y^2 \rho(x, y) \mathrm{d} s .
$$

类似地，我们也可以得到空间曲线积分所对应的质量，质心和转动惯量.

例 8 计算半径为 $R$ ， 中心角为 $2 \alpha$ 的圆弧 $\angle$ 对于它的对称轴的转动惯量 (设 线密度 $\rho=1$.
解 取坐标系如图 7-50，则 $I=\int_L y^2 \mathrm{~d} s$. 为计算方便，利用 $L$ 的参数方程

$$
x=R \cos t, y=R \sin t(-\alpha \leq t \leq \alpha) .
$$

故 $I=\int_L y^2 \mathrm{~d} s=\int_{-\alpha}^\alpha R^2 \sin ^2 t \sqrt{(-R \sin t)^2+(R \cos t)^2} \mathrm{~d} \theta$

$$
\begin{aligned}
& =R^3 \int_{-\alpha}^\alpha \sin ^2 t d t=\frac{R^3}{2}\left[t-\frac{\sin 2 t}{2}\right]_{-\alpha}^\alpha \\
& =\frac{R^3}{2}(2 \alpha-\sin 2 \alpha)=R^3(\alpha-\sin \alpha \cos \alpha) .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_20230101b9428f7.png)

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