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高等数学
第七章 多元函数积分学
对坐标的曲线积分计算方法
日期:
2023-10-01 11:28
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对坐标的曲线积分计算方法
对坐标的曲线积分也是化为定积分来计算的. 下面的定理给出了具体的计算 方法. 定理 3 设函数 $P(x, y) ， Q(x, y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上有定义且连续.平面曲线 $L=A B$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)^{\prime}\end{array}\right.$ 当参数 $t$ 单调地由 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，相应的点 $M(x, y)$ 从起点 $A$ 沿 $L$ 运动到终点 $B, \varphi(t) ， \psi(x)$ 及 $\varphi^{\prime}(t) ， \psi^{\prime}(t)$ 在以 $\alpha, \beta$ 为端点的区间上连 续，且 $\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t) \neq 0$ ，则曲线积分 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 存在，且 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_\alpha^\beta\left[P(\varphi(t), \psi(t)) \varphi^{\prime}(t)+Q(\varphi(t), \psi(t)) \psi^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t$. 定理的证明从略. 上述公式表明，计算对坐标的曲线积分 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 时，只 需 把 $x, y, \mathrm{~d} x, \mathrm{~d} y$ 依次换为 $\varphi(t) ， \psi(x) ， \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t ， \psi^{\prime}(t) \mathrm{d} t$ ，然后从 $I$ 的起点所对应的参 数值 $\alpha$ 到 $L$ 的终点所对应的参数值 $\beta$ 作定积分即可. 必须注意的是: 积分下限 $\alpha$ 一定要对应于 $I$ 的起点，而积分上限 $\beta$ 一定要对 应于 $L$ 的终点， $\alpha$ 不一定小于 $\beta$. 当平面曲线 $L=A B$ 由 $y=y(x) ， x: a \rightarrow b$ 给出，其中 $a$ 对应起始点， $y$ 对应 终点， $y(x)$ 在 $[a, b]$ 上具有一阶连续导数， $P(x, y) 、 Q(x, y)$ 在 $L$ 上连续. 则 $$ \int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_a^b\left[P(x, y(x))+Q(x, y(x)) y^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x . $$ 定理 4 设空间曲线 $\Gamma=A B$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t), \\ y=\psi(t), t: \alpha \rightarrow \beta ， \\ z=\omega(t),\end{array}\right.$ 其中 $\alpha$ 对应起始点， $\beta$ 对应终点， $\varphi(t) 、 \psi(x) 、 \omega(t)$ 及 $\varphi^{\prime}(t) 、 \psi^{\prime}(t) 、 \omega^{\prime}(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 连续， $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z) 、 R(x, y, z)$ 在I上连续，则 $$ \begin{aligned} & \int_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z \\ & =\int_\alpha^\beta\left[P(\varphi(t), \psi(t), \omega(t)) \varphi^{\prime}(t)+Q(\varphi(t), \psi(t), \omega(t)) \psi^{\prime}(t)+R(\varphi(t), \psi(t), \omega(t)) \omega^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t \end{aligned} $$ 这里也必须注意的是: 积分下限 $\alpha$ 一定要对应于 $\mathrm{I}$ 的起点，积分上限 $\beta$ 一定对应 I的终点. 例 9 计算 $\int_L x y \mathrm{~d} x$, 其中 $L$ 为曲线 $y^2=x$ 上从 $A(1,-1)$ 到 $B(1,1)$ 的一段弧. 解法一 把曲线积分化为对 $x$ 的定积分来计算，由 $y^2=x$ 可知， $y=\pm \sqrt{x}$. 为此要把 $L$ 分为有向弧 $A O$ 与 $\Theta B$ 两部分 (见图 7-54).  例 9 计算 $\int_L x y \mathrm{~d} x$, 其中 $L$ 为曲线 $y^2=x$ 上从 $A(1,-1)$ 到 $B(1,1)$ 的一段弧. 解法一 把曲线积分化为对 $x$ 的定积分来计算，由 $y^2=x$ 可知， $y=\pm \sqrt{x}$. 为此要把 $L$ 分为有向弧 $A O$ 与 $O B$ 两部分 (见图 7-54). $A O$ 的方程为 $y=-\sqrt{x}$ ，当 $x$ 由 1 变为 0 时，相应的点沿 $A O$ 从 $A$ 运动到点 $O$ ； $\Theta B$ 的方程为 $y=\sqrt{x}$ ，当 $x$ 由 0 变为 1 时，相应的点沿 $\Theta B$ 从 $O$ 运动到点 $B$ 于是 $\int_L x y \mathrm{~d} x=\int_{\bar{A}} x y \mathrm{~d} x+\int_{\overline{D \bar{s}}} x y \mathrm{~d} x=\int_1^0 x(-\sqrt{x}) \mathrm{d} x+\int_0^1 x \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ $=2 \int_0^1 x^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x=\frac{4}{5}$ 解法二 将曲线积分化为对 $y$ 的定积分来计算， $I$ 的方程为 $x=y^2$, 当 $y$ 从 $-1$ 变到 1 时，相应的点沿 $L$ 从起点 $A$ 运动到终点 $B$. 于是 $$ \int_L x y \mathrm{~d} x=\int_{-\bar{E}} x y \mathrm{~d} x=\int_{-1}^1 y^2 y\left(y^2\right)^{\prime} \mathrm{d} y=2 \int_{-1}^1 y^4 \mathrm{~d} y=\frac{4}{5} \text {. } $$ 显然，解法二较为简单. 例 10 计算曲线积分 $\int_L(2 a-y) \mathrm{d} x+x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为摆线 $$ \left\{\begin{array}{l} x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t) \end{array}(0 \leq t \leq 2 \pi)\right. $$ 的一拱，其中 $O$ 为起点， $A$ 为终点 (见图 7-55).  解 将曲线积分转化为关于参数 $t$ 的定积分来计算. $$ \begin{aligned} \int_L(2 a-y) \mathrm{d} x+x \mathrm{~d} y & =\int_0^{2 \pi}\{[2 a-a(1-\cos t)] a(1-\cos t)+a(t-\sin t) a \sin t\} \mathrm{d} t \\ & =\int_0^{2 \pi} a^2 t \sin t \mathrm{~d} t=-\left.a^2(t \cos t-\sin t)\right|_0 ^{2 \pi}=-2 \pi a^2 . \end{aligned} $$ 例 11 计算曲线积分 $\int_L x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y$ ，其中 $L=A B$ 分别为 (图 7-56) (1) 从点 $A(1,0)$ 沿直线到 $B(0,1)$ ； (2) 从点 $A(1,0)$ 沿圆周 $x=\cos t, y=\sin t\left(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)$ 到 $B(0,1)$ ； (3) 从点 $A(1,0)$ 沿 $x$ 轴到 $O(0,0)$ 再沿 $y$ 轴到 $B(0,1)$.  例 11 计算曲线积分 $\int_L x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y$ ，其中 $L=A B$ 分别为 (图 7-56) (1) 从点 $A(1,0)$ 沿直线到 $B(0,1)$ ； 解 (1) 直线 $L$ 的方程为 $x+y=1$ ，即 $y=1-x$ ，当自变量 $x$ 由 1 变为 0 时， 相应的点沿直线 $\overrightarrow{A B}$ 从 $A$ 运动到点 $B$ ，于是 $$ \begin{aligned} \int_L x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y & =\int_1^0 x(1-x) \mathrm{d} x+(1-x)^2(-\mathrm{d} x)=\int_1^0\left(3 x-2 x^2-1\right) \mathrm{d} x \\ & =\left[\frac{3}{2} x^2-\frac{2}{3} x^3-x\right]_1^0=\frac{1}{6} \end{aligned} $$ 例 11 计算曲线积分 $\int_L x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y$ ，其中 $L=A B$ 分别为 (图 7-56) (2) 从点 $A(1,0)$ 沿圆周 $x=\cos t, y=\sin t\left(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)$ 到 $B(0,1)$ ； (2) 曲线 $L$ 的方程为参数方程 $x=\cos t, y=\sin t\left(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)$ ， 当参数 $t$ 由 0 变为 $\frac{\pi}{2}$ 时，相应的点沿曲线 $\overrightarrow{A B}$ 从 $A$ 运动到点 $B$ ，于是 $$ \int_L x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[\cos t \sin t(-\sin t)+\sin ^2 t \cos t\right] \mathrm{d} t=\int_0^{\frac{\pi}{2}} 0 \mathrm{~d} t=0 $$ 例 11 计算曲线积分 $\int_L x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y$ ，其中 $L=A B$ 分别为（图 7-56) (3) 从点 $A(1,0)$ 沿 $x$ 轴到 $O(0,0)$ 再沿 $y$ 轴到 $B(0,1)$. (3) 有向折线 $\overrightarrow{A O B}$ 分为两部分: $\overrightarrow{A O}$ 和 $\overrightarrow{O B}$ ，故对应的曲线积分 $$ \int_L x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y=\int_{\overline{A O}} x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y+\int_{\overline{O B}} x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y ， $$ 在有向直线 $\overrightarrow{A O}$ 上， $y=0$ ，自变量 $x$ 由 1 变为 0 ，故 $$ \int_{\overline{A O}} x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y=\int_1^0 0 \mathrm{~d} x+0=0 \text {; } $$ 例 11 计算曲线积分 $\int_L x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y$ ，其中 $L=A B$ 分别为 (图 7-56) (3) 从点 $A(1,0)$ 沿 $x$ 轴到 $O(0,0)$ 再沿 $y$ 轴到 $B(0,1)$. 在有向直线 $\overrightarrow{O B}$ 上， $x=0$ ，自变量 $y$ 由 0 变为 1 ，故 $$ \int_{\overline{O B}} x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y=0+\int_0^1 y^2 \mathrm{~d} x=\frac{1}{3}, $$ 因此 $\int_L x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y=\int_{\overline{A O}} x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y+\int_{\overline{O B}} x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y=\frac{1}{3}$. 注 在本题中被积函数、积分曲线的起点及终点均相同，但积分曲线(路径) 不同，积分的结果也不同. 例 12 计算曲线积分 $\int_L 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y$ ，其中 $L=O B$ 分别为 (图 7-57) (1) 从点 $O(0,0)$ 沿直线到 $B(1,1)$ ； (2) 从点 $O(0,0)$ 沿曲线 $y=x^3$ 到 $B(1,1)$ ； （3）从点 $O(0,0)$ 沿 $x$ 轴到 $C(1,0)$ 再沿直线到 $B(1,1)$ ； (4) 从点 $O(0,0)$ 沿 $y$ 轴到 $D(0,1)$ 再沿直线到 $B(1,1)$.  解 (1) 直线 $L$ 的方程为 $y=x$ ，当自变量 $x$ 由 0 变为 1 时，相应的点沿直 线 $\overrightarrow{O B}$ 从 $O$ 运动到点 $B$ ，于是 $$ \int_L 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=\int_0^1\left(2 x \cdot x+x^2\right) \mathrm{d} x=\int_0^1 3 x^2 \mathrm{~d} x=\left[x^3\right]_0^1=1 ； $$ (2) 曲线 $L$ 的方程为 $y=x^3$ ，当自变量 $x$ 由 0 变为 1 时，相应的点沿曲线 $\overrightarrow{O B}$ 从 $O$ 运动到点 $B$ ，于是 $$ \int_L 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=\int_0^1\left(2 x \cdot x^3+x^2 \cdot 3 x^2\right) \mathrm{d} x=\int_0^1 5 x^4 \mathrm{~d} x=\left[x^5\right]_0^1=1 \text {; } $$ (3) 在直线段 $\overrightarrow{O C}$ 上， $y=0$ ，自变量 $x$ 由 0 变为 1 , 于是 $$ \int_{\overline{O C}} 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=\int_0^1 0 \mathrm{~d} x+0=0 ； $$ 在直线段 $\overrightarrow{C B}$ 上， $x=1$ ，自变量 $y$ 由 0 变为 1 ，于是 $$ \int_{\overline{C B}} 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=\int_0^1 0+1 \cdot \mathrm{d} y=1 ， $$ 因此 $\quad \int_L 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=\int_{\bar{C}} 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y+\int_{\overline{C B}} 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=0+1=1$ ； (4) 在直线段 $\overrightarrow{O D}$ 上， $x=0$ ，自变量 $y$ 由 0 变为 1 ，于是 $$ \int_{\overline{O D}} 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=\int_0^1 0 \mathrm{~d} y=0 ， $$ 在直线段 $\overrightarrow{D B}$ 上， $y=1$ ，自变量 $x$ 由 0 变为 1 ，于是 $$ \int_{\overline{D B}} 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=\int_0^1 2 x \mathrm{~d} x+0=\left[x^2\right]_0^1=1 . $$ 因此， $\quad \int_L 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=\int_{\overline{O D}} 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y+\int_{\overline{D B}} 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=0+1=1$ 注 在本题中被积函数、积分曲线的起点及终点均相同，但积分曲线(路径) 不同，积分的结果却相同. 其原因我们将在下节中解释.
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