最后更新: 2025-05-05 10:23 查看: 787 次反馈刷题

第二类曲线积分的计算

## 对坐标的曲线积分计算方法
对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）也是化为定积分来计算的. 下面的定理给出了具体的计算方法.

**定理1** 设平面有向曲线 $\overparen{A B}$ 的方程为 $x=x(t), y=y(t), t: \alpha \rightarrow \beta$ 确定了曲线的方向，起点为 $A(x(\alpha), y(\alpha))$ ，终点为 $B(x(\beta), y(\beta)), x^{\prime}(t), y^{\prime}(t)$连续且 $x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t) \neq 0, P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 在 $\overparen{A B}$ 上连续，则

$$
\boxed{
\int_{\widehat{A B}} P(x, y) d x+Q(x, y) d y=\int_\alpha^\beta\left\{P[x(t), y(t)] x^{\prime}(t)+Q[x(t), y(t)] y^{\prime}(t)\right\} d t
}
$$

证 由于第二类曲线积分 $\int_{\overparen{A B}} P(x, y) d x+Q(x, y) d y$ 可归结为第一类曲线积分 $\int_{\widehat{A B}} P(x, y) \cos \alpha d s+Q(x, y) \cos \beta d s$ ，以下证明的思路就是计算该第一类曲线积分等于上式右端的定积分．

先说明切向量 $\tau=\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t)\right)$ 的方向与参数 $t$ 增加时曲线的走向一致，这里$\tau$ 可以认为是速度的方向，速度大于零，表示前进，速度小于零表示后退，他的意义和曲线增长方向一致。

当 $\alpha \leqslant \beta$ 时，由于曲线的走向与t 增加的方向一致，所以单位切向量
$$
\begin{aligned}
& e_\tau=(\cos \alpha, \cos \beta)=\frac{1}{\sqrt{x^{\prime}(t)^2+y^{\prime}(t)^2}}\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t)\right), \\
& \int_L P(x, y) d x+Q(x, y) d y \\
= & \int_L P(x, y) \cos \alpha d s+Q(x, y) \cos \beta d s \\
= & \int_\alpha^\beta P[x(t), y(t)] \frac{x^{\prime}(t)}{\sqrt{x^{\prime}(t)^2+y^{\prime}(t)^2}} \sqrt{x^{\prime}(t)^2+y^{\prime}(t)^2} d t+ \\
& \int_\alpha^\beta Q[x(t), y(t)] \frac{y^{\prime}(t)}{\sqrt{x^{\prime}(t)^2+y^{\prime}(t)^2}} \sqrt{x^{\prime}(t)^2+y^{\prime}(t)^2} d t
\end{aligned}
$$

$ \int_\alpha^\beta\left\{P[x(t), y(t)] x^{\prime}(t)+Q[x(t), y(t)] y^{\prime}(t)\right\} d t $

当$ \alpha \geqslant \beta $ ，方向相反 同理可证。由此得到上面公式。

### 计算总结
上述公式表明，计算对坐标的曲线积分 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 时，只 需 把 $x, y, \mathrm{~d} x, \mathrm{~d} y$ 依次换为 $\varphi(t) ， \psi(x) ， \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t ， \psi^{\prime}(t) \mathrm{d} t$ ，然后从 $I$ 的起点所对应的参 数值 $\alpha$ 到 $L$ 的终点所对应的参数值 $\beta$ 作定积分即可.

> **必须注意的是: 积分下限 $\alpha$ 一定要对应于 $I$ 的起点，而积分上限 $\beta$ 一定要对 应于 $L$ 的终点， $\alpha$ 不一定小于 $\beta$.**

**定理2** 设空间曲线 $\Gamma=A B$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t), \\ y=\psi(t), t: \alpha \rightarrow \beta ， \\ z=\omega(t),\end{array}\right.$
其中 $\alpha$ 对应起始点， $\beta$ 对应终点， $\varphi(t) 、 \psi(x) 、 \omega(t)$ 及 $\varphi^{\prime}(t) 、 \psi^{\prime}(t) 、 \omega^{\prime}(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 连续， $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z) 、 R(x, y, z)$ 在I上连续，则

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& \int_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z \\
& =\int_\alpha^\beta\left[P(\varphi(t), \psi(t), \omega(t)) \varphi^{\prime}(t)+Q(\varphi(t), \psi(t), \omega(t)) \psi^{\prime}(t)+R(\varphi(t), \psi(t), \omega(t)) \omega^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t
\end{aligned}
}
$$

这里也必须注意的是: 积分下限 $\alpha$ 一定要对应于 $\mathrm{I}$ 的起点，积分上限 $\beta$ 一定对应 I的终点.

## 例题

`例`计算 $\int_L x y \mathrm{~d} x$, 其中 $L$ 为曲线 $y^2=x$ 上从 $A(1,-1)$ 到 $B(1,1)$ 的一段弧.
解法一 把曲线积分化为对 $x$ 的定积分来计算，由 $y^2=x$ 可知， $y=\pm \sqrt{x}$.
为此要把 $L$ 分为有向弧 $A O$ 与 $\Theta B$ 两部分 (见图 7-54).

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010121d8777.png){width=400px}

为此要把 $L$ 分为有向弧 $A O$ 与 $O B$ 两部分 (见图 7-54).
$A O$ 的方程为 $y=-\sqrt{x}$ ，当 $x$ 由 1 变为 0 时，相应的点沿 $A O$ 从 $A$ 运动到点 $O$ ； $O B$ 的方程为 $y=\sqrt{x}$ ，当 $x$ 由 0 变为 1 时，相应的点沿 $O B$ 从 $O$ 运动到点 $B$
于是 $\int_L x y \mathrm{~d} x=\int_{\bar{AO}} x y \mathrm{~d} x+\int_{\overline{OB}} x y \mathrm{~d} x=\int_1^0 x(-\sqrt{x}) \mathrm{d} x+\int_0^1 x \sqrt{x} \mathrm{~d} x$
$=2 \int_0^1 x^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x=\frac{4}{5}$
解法二 将曲线积分化为对 $y$ 的定积分来计算， $I$ 的方程为 $x=y^2$, 当 $y$ 从 $-1$ 变到 1 时，相应的点沿 $L$ 从起点 $A$ 运动到终点 $B$.
于是

$$
\int_L x y \mathrm{~d} x=\int_{-\bar{E}} x y \mathrm{~d} x=\int_{-1}^1 y^2 y\left(y^2\right)^{\prime} \mathrm{d} y=2 \int_{-1}^1 y^4 \mathrm{~d} y=\frac{4}{5} \text {. }
$$

显然，解法二较为简单.

`例`计算曲线积分 $\int_L(2 a-y) \mathrm{d} x+x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为摆线

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a(t-\sin t), \\
y=a(1-\cos t)
\end{array}(0 \leq t \leq 2 \pi)\right.
$$

的一拱，其中 $O$ 为起点， $A$ 为终点 (见图 7-55).
![图片](/uploads/2023-01/image_202301019602290.png)

解 将曲线积分转化为关于参数 $t$ 的定积分来计算.

$$
\begin{aligned}
\int_L(2 a-y) \mathrm{d} x+x \mathrm{~d} y & =\int_0^{2 \pi}\{[2 a-a(1-\cos t)] a(1-\cos t)+a(t-\sin t) a \sin t\} \mathrm{d} t \\
& =\int_0^{2 \pi} a^2 t \sin t \mathrm{~d} t=-\left.a^2(t \cos t-\sin t)\right|_0 ^{2 \pi}=-2 \pi a^2 .
\end{aligned}
$$

`例` 计算曲线积分 $\int_L x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y$ ，其中 $L=A B$ 分别为 (图 7-56)
(1) 从点 $A(1,0)$ 沿直线到 $B(0,1)$ ；
(2) 从点 $A(1,0)$ 沿圆周 $x=\cos t, y=\sin t\left(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)$ 到 $B(0,1)$ ；
(3) 从点 $A(1,0)$ 沿 $x$ 轴到 $O(0,0)$ 再沿 $y$ 轴到 $B(0,1)$.
![图片](/uploads/2023-01/image_20230101a2d28ef.png)

解 (1) 直线 $L$ 的方程为 $x+y=1$ ，即 $y=1-x$ ，当自变量 $x$ 由 1 变为 0 时， 相应的点沿直线 $\overrightarrow{A B}$ 从 $A$ 运动到点 $B$ ，于是

$$
\begin{aligned}
\int_L x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y & =\int_1^0 x(1-x) \mathrm{d} x+(1-x)^2(-\mathrm{d} x)=\int_1^0\left(3 x-2 x^2-1\right) \mathrm{d} x \\
& =\left[\frac{3}{2} x^2-\frac{2}{3} x^3-x\right]_1^0=\frac{1}{6}
\end{aligned}
$$

(2) 曲线 $L$ 的方程为参数方程 $x=\cos t, y=\sin t\left(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)$ ， 当参数 $t$ 由 0 变为 $\frac{\pi}{2}$ 时，相应的点沿曲线 $\overrightarrow{A B}$ 从 $A$ 运动到点 $B$ ，于是

$$
\int_L x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[\cos t \sin t(-\sin t)+\sin ^2 t \cos t\right] \mathrm{d} t=\int_0^{\frac{\pi}{2}} 0 \mathrm{~d} t=0
$$

(3) 有向折线 $\overrightarrow{A O B}$ 分为两部分: $\overrightarrow{A O}$ 和 $\overrightarrow{O B}$ ，故对应的曲线积分

$$
\int_L x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y=\int_{\overline{A O}} x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y+\int_{\overline{O B}} x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y ，
$$

在有向直线 $\overrightarrow{A O}$ 上， $y=0$ ，自变量 $x$ 由 1 变为 0 ，故

$$
\int_{\overline{A O}} x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y=\int_1^0 0 \mathrm{~d} x+0=0 \text {; }
$$

在有向直线 $\overrightarrow{O B}$ 上， $x=0$ ，自变量 $y$ 由 0 变为 1 ，故

$$
\int_{\overline{O B}} x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y=0+\int_0^1 y^2 \mathrm{~d} x=\frac{1}{3},
$$

因此 $\int_L x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y=\int_{\overline{A O}} x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y+\int_{\overline{O B}} x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y=\frac{1}{3}$.
注 在本题中被积函数、积分曲线的起点及终点均相同，但积分曲线(路径) 不同，积分的结果也不同.

`例` 计算曲线积分 $\int_L 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y$ ，其中 $L=O B$ 分别为 (图 7-57)
(1) 从点 $O(0,0)$ 沿直线到 $B(1,1)$ ；
(2) 从点 $O(0,0)$ 沿曲线 $y=x^3$ 到 $B(1,1)$ ；
（3）从点 $O(0,0)$ 沿 $x$ 轴到 $C(1,0)$ 再沿直线到 $B(1,1)$ ；
(4) 从点 $O(0,0)$ 沿 $y$ 轴到 $D(0,1)$ 再沿直线到 $B(1,1)$.
![图片](/uploads/2023-01/image_2023010130cdfe5.png)
解 (1) 直线 $L$ 的方程为 $y=x$ ，当自变量 $x$ 由 0 变为 1 时，相应的点沿直 线 $\overrightarrow{O B}$ 从 $O$ 运动到点 $B$ ，于是

$$
\int_L 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=\int_0^1\left(2 x \cdot x+x^2\right) \mathrm{d} x=\int_0^1 3 x^2 \mathrm{~d} x=\left[x^3\right]_0^1=1 ；
$$

(2) 曲线 $L$ 的方程为 $y=x^3$ ，当自变量 $x$ 由 0 变为 1 时，相应的点沿曲线 $\overrightarrow{O B}$ 从 $O$ 运动到点 $B$ ，于是

$$
\int_L 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=\int_0^1\left(2 x \cdot x^3+x^2 \cdot 3 x^2\right) \mathrm{d} x=\int_0^1 5 x^4 \mathrm{~d} x=\left[x^5\right]_0^1=1 \text {; }
$$

(3) 在直线段 $\overrightarrow{O C}$ 上， $y=0$ ，自变量 $x$ 由 0 变为 1 , 于是

$$
\int_{\overline{O C}} 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=\int_0^1 0 \mathrm{~d} x+0=0 ；
$$

在直线段 $\overrightarrow{C B}$ 上， $x=1$ ，自变量 $y$ 由 0 变为 1 ，于是

$$
\int_{\overline{C B}} 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=\int_0^1 0+1 \cdot \mathrm{d} y=1 ，
$$

因此 $\quad \int_L 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=\int_{\bar{C}} 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y+\int_{\overline{C B}} 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=0+1=1$ ；
(4) 在直线段 $\overrightarrow{O D}$ 上， $x=0$ ，自变量 $y$ 由 0 变为 1 ，于是

$$
\int_{\overline{O D}} 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=\int_0^1 0 \mathrm{~d} y=0 ，
$$

在直线段 $\overrightarrow{D B}$ 上， $y=1$ ，自变量 $x$ 由 0 变为 1 ，于是

$$
\int_{\overline{D B}} 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=\int_0^1 2 x \mathrm{~d} x+0=\left[x^2\right]_0^1=1 .
$$

因此， $\quad \int_L 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=\int_{\overline{O D}} 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y+\int_{\overline{D B}} 2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=0+1=1$
注 在本题中被积函数、积分曲线的起点及终点均相同，但积分曲线(路径) 不同，积分的结果却相同. 其原因我们将在下节中解释.

`例` 计算 $\int_{\Gamma} x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+(x+y-1) \mathrm{d} z, \Gamma$ 为点 $A(2,3,4)$ 到点 $B(1,1,1)$ 的空间有向 线段.
解 直线 $A B$ 的方程为 $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$, 改写为参数方程为

$$
x=t+1, y=2 t+1, z=3 t+1(0 \leq t \leq 1) \text {, }
$$

$t=1$ 对应着起点 $A ， t=0$ 对应着终点 $B$, 于是

$$
\begin{aligned}
\int_{\Gamma} x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+(x+y-1) \mathrm{d} z & =\int_1^0[(t+1)+2(2 t+1)+3(3 t+1)] \mathrm{d} t \\
& =\int_1^0(14 t+6) \mathrm{d} t=-13 .
\end{aligned}
$$

`例` 求质点在力 $F(x, y)=x^2 i-x y j$ 的作用下沿着曲线 $L$

$$
x=\cos t, y=\sin t
$$

从点 $A(1,0)$ 移动到点 $B(0,1)$ 时所作的功.
解 注意到对于 $L$ 的方向, 参数 $t$ 从 0 变到 $\frac{\pi}{2}$ (图 7-58)， 所以

$$
\begin{gathered}
W=\int_{\overline{A B}} x^2 \mathrm{~d} x-x y \mathrm{~d} y=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 t \mathrm{~d} \cos t-\cos t \sin t \mathrm{~d} \sin t \\
\left.=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(-2 \cos ^2 t \sin t\right) \mathrm{d} t=2\left[\frac{\cos ^3 t}{3}\right]\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{3} .
\end{gathered}

![图片](/uploads/2023-01/image_202301014dac5fa.png)

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