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第二类曲面积分（对坐标轴的曲面积分）

## 对坐标曲面积分的概念
设一河流中每点处水的流速与时间无关，只与点的位置有关，在点 $M(x, y, z)$ 处的流速为 $v(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$ ，在河中放一双侧曲面 $S$ ，并选定 $S$ 的一侧，求单位时间内水流向 $S$ 指定一侧的质量$\Phi$  （称为水流量，设水的密度为1）。
 
### 情况1
先看一种特殊情况：设 $v$ 为常向量，$S$ 为有向平面 $\pi$（其方向如单位法向量 $e_n$ 所指）上的一块，如图11．19，从图上直观可看出，单位时间内流过 $S$的质量就是以 $S$ 为底，$v$ 为斜高的代数体积（即可取负值）：

$$
\Phi=S v \cos \varphi= v \cdot e_n S
$$

这里$e_n S $ 相当于有效面积。

![图片](/uploads/2025-04/892256.jpg){width=300px}

当 $\Phi$ 为正时，此时 $\varphi$ 为锐角，说明水的流向与$S$ 的指定侧方向一致；
当$\Phi$ 为负时，说明水的流向与$S$ 的指定侧方向相反。
这样水流量 $\Phi$ 不但刻画了单位时间内水流经过曲面 $S$ 的大小，而且说明了水的流向，这也是规定曲面方向的实际意义．

## 情况2 一般情况：
如下图

![图片](/uploads/2025-04/657aad.jpg)
 
（1）分割：将 $S$ 分割为 $n$ 个小块 $\Delta S_i$ $(i=1,2, \cdots, n)$ ，其面积也记为 $\Delta S_i$ ；
（2）近似代替：在 $\Delta S_i$ 上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ ，通过 $\Delta S_i$ 的流量

$$
\begin{aligned}
\Delta \Phi_i & \approx v_i\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \Delta S_i \\
& =v_i\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot e_n\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i \\
& \quad(i=1,2, \cdots, n),
\end{aligned}
$$

$e _n\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ 为曲面 $S$ 在点 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ 处与曲面侧方向一致的单位法向量；

（3）求和：总流量 $\Phi=\sum_{i=1}^n \Delta \Phi_i \approx \sum_{i=1}^n v\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \Delta S_i$

$$
=\sum_{i=1}^n v_i\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot e_n\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i
$$

（4）取极限：

$$
\begin{aligned}
\Phi & =\sum_{i=1}^n \Delta \Phi_i=\lim _{\lambda=0} \sum_{i=1}^n v\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \Delta S_i=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n v\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot e_n\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i \\
& =\iint_S v(x, y, z) \cdot e_n(x, y, z) d S
\end{aligned}
$$

其中 $\lambda=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{\Delta S_i\right.$ 的直径 $\}$ 。
抽去上式的物理意义得：

## 第二类曲线积分的定义
 设 $S$ 为光滑的有向曲面，$e_n(x, y, z)$ 为 $S$ 上 $(x, y, z)$ 处的单位法向量， $F (x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$ 为 $S$ 上的有界函数，若
 
 $$
\iint_S F(x, y, z) \cdot e_n(x, y, z) d S
$$

存在，则称此积分为向量值函数 $F(x, y, z)$ 在定向曲面 $S$ 上的第二类曲面积分，记为 $\iint_S F (x, y, z) \cdot d S$ ，即

$$
\iint_S F (x, y, z) \cdot d S=\iint_S F (x, y, z) \cdot e _n(x, y, z) d S
$$

由定义可知，向量值函数 $F (x, y, z)$ 在定向曲面 $S$ 上的第二类曲面积分就是数量值函数 $F (x, y, z) \cdot e _n(x, y, z)$ 在曲面 $S$ 上的第一类曲面积分，若令 $e _n(x, y, z)=\cos \alpha i+\cos \beta j+\cos \gamma k$ ，则

$$
F (x, y, z) \cdot e _n(x, y, z)=P(x, y, z) \cos \alpha+Q(x, y, z) \cos \beta+R(x, y, z) \cos \gamma
$$

积分
$$
\begin{aligned}
& \iint_S F(x, y, z) \cdot d S \\
= & \iint_S F(x, y, z) \cdot e_n(x, y, z) d S \\
= & \iint_S[P(x, y, z) \cos \alpha+Q(x, y, z) \cos \beta+R(x, y, z) \cos \gamma] d S \\
= & \iint_S P(x, y, z) \cos \alpha d S+\iint_S Q(x, y, z) \cos \beta d S+\iint_S R(x, y, z) \cos \gamma d S
\end{aligned}
$$

将 $\iint_S P(x, y, z) \cos \alpha d S$ 记为 $\iint_S P(x, y, z) d y d z$ ,

$\iint_S Q(x, y, z) \cos \beta d S$ 记为 $\iint_S Q(x,y, z) d z d x$,

$\iint_S R(x, y, z) \cos \gamma d S$ 记为 $\iint_S R(x, y, z) d x d y$ ，则第二类曲面积分的坐标表达式为

$$
\begin{aligned}
\iint_S F (x, y, z) \cdot d S & =\iint_S P(x, y, z) d y d z+\iint_S Q(x, y, z) d z d x+\iiint_S R(x, y, z) d x d y \\
& =\iint_S P(x, y, z) d y d z+Q(x, y, z) d z d x+R(x, y, z) d x d y
\end{aligned}
$$

所以第二类曲面积分又称为对坐标的曲面积分．

## 如何理解曲面积分的积分微元
在上面积分计算里，使用了 
$\cos \alpha  dS= dy dz$
$\cos \beta dS= dz dx$
$\cos \gamma dS= dx dy$

如何理解其中的关系呢？参考下图，在$P$点去一个面积微元$dS$，过该点做曲面的切平面
 ![图片](/uploads/2025-05/a1cf3d.jpg){width=400px}

如下图，曲面的切平面
 ![图片](/uploads/2025-05/c0ce26.jpg){width=400px}
 
为了方便观察，我们把切平面放到三维坐标里
 ![图片](/uploads/2025-05/5bf644.jpg){width=400px}

由立体几何关系，可以看到曲面$dS$向$yoz$ 的投影就是$\cos \alpha  dS$ ,另外两个也是这样计算。

## 向量表示与性质 
在应用中出现较多的是

$$
\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

这种合并起来的形式. 为简单记，上式记为

$$
\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$

如果令 $A(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$ ，

$$
\mathrm{dS}=\mathrm{d} y \mathrm{~d} z i+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y j+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y k,
$$

那么上式就可以写成简便的向量形式： $\iint_{\Sigma} A(x, y, z) \cdot \mathrm{dS}$
其中 $\mathrm{dS}$ 称为有向曲面面积元素.
 
 应当注意第二型曲面积分的坐标形式与通常的重积分的区别．
比如，考虑 $P \equiv Q \equiv 0$ 的特殊情况，这时 $S$ 上的第二型曲面积分为

$$
\iint_S R(x, y, z) d x d y
$$

它与在 $O x y$ 平面内某个区域上的二重积分有原则区别．这不仅表现在被积函数 $R(x, y, z)$ 是三元函数，其中的点 $(x, y, z)$ 要约束在 $S$ 上取值，而且还表现在记号 $d x d y$ 上。在二重积分中 $d x d y$ 表示面积元，它总是一个正的量，但在上述第二型曲面积分中， $d x d y$ 表示曲面上的微元 $d S$ 在 $O x y$ 平面上的有向投影面积，它可能为正也可能为负，其符号由曲面的法向量的指向所决定．

## 性质
对坐标的曲面积分也具有线性性、区域可加性，例如，若被积函数在对应光 滑曲面上连续，则

$$
\iint_{\Sigma}\left[\alpha R_1(x, y, z)+\beta R_2(x, y, z)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\alpha \iint_{\Sigma} R_1(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\beta \iint_{\Sigma} R_2(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y ；
$$

设 $\Sigma=\Sigma_1+\Sigma_2$ ，则 $\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma_1} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{\Sigma_2} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ；
特别地，若用 $-\Sigma$ 表示双侧曲面 $\Sigma$ 与指定的一侧相反的一侧，则

$$
\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{-\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$

因此，关于对坐标的曲面积分，我们必须注意积分曲面的侧.

## 第二类曲面积分的计算
### 情形1
总体而言，第二类曲面积分的计算远比第一类曲面积分复杂，这里介绍几个常见的情况。
从上面关于第二型曲面积分概念的讨论中，我们自然会看出它的计算方法之一是将它化成第一型曲面积分。
比如，给定了积分曲面 $S$ 的定向，那么就相当于在曲面上指定了单位法向量

$$
n =(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) .
$$

这时 $F =(P, Q, R)$ 在 $S$ 上的第二型曲面积分可以表成

$$
\iint_S F \cdot d S =\iint_S(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) d S .
$$

这就是说，如果我们能够具体写出曲面 $S$ 指定一侧法向量之方向余弦的话，那么第二型曲面积分的计算就归结为第一型曲面积分的计算．

`例` 求
$$
\oint_S F \cdot n d S,
$$
其中 $F (x, y, z)=\frac{1}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3 / 2}}(x, y, z), S$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 的外侧。

解：如图
 ![图片](/uploads/2025-05/cb1115.jpg)

从几何直观上 很容易看出：在球面上任意一点 $(x, y, z)$ 的法向量可以取向量 $(x, y, z)$ ，也可以取 $(-x,-y,-z)$ 。前者指向球面的外侧而后者指向球面之内侧。现在曲面的定向为外侧法向量，故取法向量为 $(x, y, z)$ ，那么单位法向量

$$
n =\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x, y, z),
$$

也即
$$
\begin{gathered}
\cos \alpha=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \quad \cos \beta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \\
\cos \gamma=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} .
\end{gathered}
$$

这样我们得到

$$
\begin{aligned}
\iint_S F \cdot n d S & =\iint_S \frac{x^2+y^2+z^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2} d S=\iint_S \frac{1}{R^2} d S \\
& =\frac{1}{R^2} \iint_S d S=\frac{1}{R^2} \cdot 4 \pi R^2=4 \pi
\end{aligned}
$$

这个例子有很大的特殊性，即将所求第二型曲面积分化成第一型曲面积分之后，被积函数恰好是一常数。这自然十分容易计算。但是，大多数情况并非如此。因为一般说来，先将第二型曲面积分化为第一型曲面积分，再将后者化为二重积分．

### 情形2
假定我们讨论的曲面是由方程

$$
z=f(x, y), \quad(x, y) \in D
$$

表出，其中 $f$ 是定义在 $O x y$ 平面上的区域 $D$ 中的函数，有一阶连续的偏导数．又设 $P(x, y, z), Q(x, y, z)$ 及 $R(x, y, z)$ 是曲面上的连续函数．这时曲面 $S$ 上一点 $(x, y, z)$ 处的法向量为

$$
\pm\left(-f_x,-f_y, 1\right),
$$

其中取＂＋＂号时法向量指向上侧，而取＂一＂号时法向量指向下侧，单位法向量的方向余弦是，（此处具体推导参考[曲面的侧](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=424)）

$$
\begin{aligned}
= \pm \iint_D & {\left[P(x, y, f(x, y))\left(-f_x\right)+Q(x, y, f(x, y))\left(-f_y\right)\right.} \\
& +R(x, y, f(x, y))] d \sigma
\end{aligned}
$$

这样就将第二型曲面积分直接化成了二重积分，其中正负号由 $S$ 的定向决定：法向量指向上侧时取正号，否则取负号。

这个公式表明，为将第二型曲面积分化成二重积分，只需把 $P, Q, R$ 中的 $z$ 换成 $f(x, y)$ ，再将 $P, Q, R$ 分别乘以 $-f_x,-f_y, 1$ 后相加，就构成二重积分的被积函数。而二重积分的积分区域 $D$ 是曲面 $S$ 在 $O x y$ 平面上的投影。再根据 $S$ 的指向，确定取＂＋＂还是取＂－＂。

`例` 求 $I=\iint_S y z d z d x+z x d x d y$ ，其中 $S$ 为上半球面 $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$的上侧．

解 这里 $P=0, Q=y z, R=z x$ ，又 $f_x=\frac{-x}{z}, f_y=-\frac{y}{z}$ ，于是

$$
\begin{aligned}
& P\left(-f_x\right)+Q\left(-f_y\right)+R \cdot 1=y z \cdot \frac{y}{z}+z x \\
& \quad=y^2+x \sqrt{R^2-x^2-y^2}
\end{aligned}
$$

又曲面 $S$ 在 $O x y$ 平面上的投影 $D$ 为圆：$x^2+y^2=R^2$ ．因取上半球面的上侧，故上述公式右端二重积分号前取＂＋＂号。由公式得

$$
\begin{aligned}
I & =\iint_D\left(y^2+x \sqrt{R^2-x^2-y^2}\right) d \sigma \\
& =\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^R\left(r^2 \sin ^2 \theta+r \cos \theta \sqrt{R^2-r^2}\right) r d r
\end{aligned}
$$

注意 $\int_0^{2 \pi} \sin ^2 \theta d \theta=4 \int_0^{\pi / 2} \sin ^2 \theta d \theta=4 \cdot \frac{\pi}{4}=\pi, \int_0^{2 \pi} \cos \theta d \theta=0$ ，代入上式，得所求积分

$$
I=\frac{1}{4} \pi R^4
$$

$$
(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)=\frac{ \pm 1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}\left(-f_x,-f_y, 1\right) .
$$

这时我们有

$$
\begin{gathered}
\iint_S P d y d z+Q d z d x+R d x d y=\iint_S(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) d S \\
= \pm \iint_S \frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}\left[P\left(-f_x\right)+Q\left(-f_y\right)+R\right] d S
\end{gathered}
$$

另一方面，我们知道

$$
d S=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2} d \sigma,
$$

其中 $d \sigma$ 是 $d S$ 在 $O x y$ 平面的投影的面积。因此我们最后得到

$$
\iint_S P d y d z+Q d z d x+R d x d y
$$

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