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线性代数
第二篇 矩阵
矩阵的转置
日期:
2024-01-12 16:38
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矩阵的转置
定义 6 设 $m \times n$ 矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{1 n} & a_{2 n} \\ M & M & & M \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \mathrm{~L} & a_m\end{array}\right)$ ，把矩阵 $A$ 的行换成同序数的列， 得到的 $n \times m$ 矩阵称为矩阵 $A$ 的转置矩阵，记为 $A^{\mathrm{T}}$ ，即 $$ A^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{llll} a_{11} & a_{21} & \mathrm{~L} & a_{m 1} \\ a_{12} & a_{22} & \mathrm{~L} & a_{m 2} \\ \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} \\ a_{1 n} & a_{2 n} & \mathrm{~L} & a_{n n} \end{array}\right) . $$ 矩阵的转置满足下面的运算规律 (这里 $k$ 为常数， $A$ 与 $B$ 为同型矩阵)： (1) $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$ (2) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ (3) $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ (4) $(k \boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}=k \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 例 6 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 2 \\ -1 & 1\end{array}\right)$, 求 $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$. 解法- $$ \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right) \text {, 所以 }(\boldsymbol{A B})^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ll} -1 & 0 \\ -1 & 2 \end{array}\right) \text {. } $$ 解㳂一 $$ (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ 3 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ -1 & 2 \end{array}\right) . $$ 定义 $7 n$ 阶方阵 $A$ 如果满足 $A^{\mathrm{T}}=A$ ，则称 $A$ 为对称矩阵，如果满足 $A^{\mathrm{T}}=-A$ ，则称 $A$ 为反对称矩阵. 由定义可知， 1 如果 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是对称矩阵，则 $a_{i j}=a_{j i}(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n)$. 如果 $n$ 阶方阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是反对称矩阵， 则 $a_{i j}=-a_{j i}(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n)$ ，且 $a_{i i}=0(i=1,2, \cdots, n)$. 例 7 设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，证明: $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{A A ^ { \mathrm { T } }}$ 都是对称矩阵. 证明 因为 $$ \left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}, \quad\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}, $$ 所以 $A^{\mathrm{T}} A$ 和 $A A^{\mathrm{T}}$ 都是对称矩阵. ## 5.12 矩阵对平面和空间的旋转变换 平面和空间中的旋转变换是很常见的, 我们在前面的例子里也多次谈到旋转矩阵, 又比如工程中我们要模拟飞机在空中的前后、左右和上下的旋转动作等。因此, 弄清旋转矩阵是很有意思的。下面我们就详细讨论这个问题。 5. 12.1 平面上的旋转变换 1. 平面上点的旋转变换 如图 5-63 所示, 平面上任意一点 $P(x, y)$ 对应的向量 $\overrightarrow{o P}$ (与原点 $o$ 相连接得到), 以逆时针方向绕原点在平面上旋转 $\theta$ 角, 得到向量 $\overrightarrow{O P^{\prime}}$, 即点 $P(x, y)$ 在平面上以逆时针方向绕原点旋转 $\theta$ 角, 变化到点 $P^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ 。  如果我们记这个变换为 $\boldsymbol{\Gamma}$, 那么有 $\overrightarrow{o P^{\prime}}=\boldsymbol{\Gamma} \overrightarrow{O P}$ 。实际上这个点的旋转变换 $\boldsymbol{\Gamma}$ 就是前面我们介绍的旋转矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$, 即点（或向量）的旋转变换为 $$ \left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) $$ 2. 平面上坐标的旋转变换 如果将坐标系 $\{x o y\}$ 也以逆时针方向绕原点旋转 $\theta$ 角, 会得到新的坐标系 $\left\{x^{\prime} o y^{\prime}\right\}$, 如图 5-64 所示。旧坐标轴上的基本单位向量 $\boldsymbol{i}$ 和 $\boldsymbol{j}$ 变为新坐标轴上的基本单位向量 $\boldsymbol{i}^{\prime}$ 和 $\boldsymbol{j}^{\prime}$, 即 $\boldsymbol{i}^{\prime}=\boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{i}$, $\boldsymbol{j}^{\prime}=\boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{j}$ 。实际上, 此时的旋转效果是最终对坐标系 $\{x o y\}$ 和向量 $\vec{o} \vec{P}$ 一起做了旋转 $\theta$ 角的操作。  考察基本单位向量的变化, 容易检验 $\boldsymbol{i}^{\prime}$ 关于旧坐标轴的坐标为 $(\cos \theta, \sin \theta)$, 即 $$ \boldsymbol{i}^{\prime}=\boldsymbol{i} \cos \theta+\boldsymbol{j} \sin \theta $$ 同理, 有 $$ \begin{aligned} \boldsymbol{j}^{\prime} & =\boldsymbol{i} \cos \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)+\boldsymbol{j} \sin \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) \\ & =-\boldsymbol{i} \sin \theta+\boldsymbol{j} \cos \theta \end{aligned} $$ 即 $$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{i}^{\prime}=\boldsymbol{i} \cos \theta+\boldsymbol{j} \sin \theta \\ \boldsymbol{j}^{\prime}=-\boldsymbol{i} \sin \theta+\boldsymbol{j} \cos \theta \end{array} \quad \text { 或 } \quad\left(\begin{array}{l} \boldsymbol{i}^{\prime} \\ \boldsymbol{j}^{\prime} \end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left(\begin{array}{l} \boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{j} \end{array}\right)\right. $$ 式中, $\left[\begin{array}{rr}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$ 称为坐标系 (单位向量) 旋转变换矩阵, 记为 $\boldsymbol{T}$ 。 我们看到点的旋转矩阵和坐标系的同样旋转的旋转矩阵 $\boldsymbol{T}$ 不同, 容易验证, 它们互为转置矩阵。 另外, 也可以验证它们互为逆矩阵。因为坐标系的坐标轴 (只是坐标轴, 不包括平面上的点或者向量) 作逆时针旋转 $\theta$ 角就相当于平面上的点或者向量 (不包括坐标轴) 作顺时针旋转 $\theta$角, 如图 5-65 所示。  坐标系的旋转的变换公式可以通过作图得到, 这个图也可以看做这个变换矩阵的几何解释。设原坐标系是 $\{x o y\}$, 这个坐标系以原点 $o$ 为固定点进行逆时针旋转 $\theta$ 角, 得到新的直角坐标系 $\left\{x^{\prime} o y\right\}, P$ 点保持不动, 则旋转的图像如图 5-66 (a) 所示。  为分析 $P$ 点在两个坐标系中的坐标值之间的变换关系, 从 $P$ 点分别作四个坐标轴的垂线,然后作 $A B$ 垂直于 $P C$ 线段, 得到图 5-66 (b) 所示的图形, 则 $P$ 点在 $\left\{x^{\prime} o y^{\prime}\right\}$ 坐标系下的值分别是 $$ \left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=P B+B C \\ y^{\prime}=A B-A D \end{array}\right. $$ 把式中线段 $P B$ 等的长度分别用三角式子替换, 即可得到前面的旋转变换的公式。 5. 12.2 空间的旋转变换 三维空间的情况完全类似, 如图 5-67 所示, 将空间中任意一点 $P(x, y, z)$ 对应的向量 $\overrightarrow{O P}$ (与原点 $o$ 相连接得到) 以逆时针方向绕某一个直线 $L$ (过原点) 旋转 $\theta$ 角, 得到向量 $\overrightarrow{o P^{\prime}}$,即点 $P(x, y, z)$ 变化到点 $P^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ 。 在开始的时候, 如果将整个空间作为一个刚体绕直线 $\ell$ 旋转 $\theta$ 角, 那么点 $P(x, y, z)$ 当然变化到点 $P^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$, 而旧坐标系 $\{o x y z\}$ 变换到新的坐标系 $\left\{o x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}\right\}$, 旧坐标轴上的基本单位向量 $\boldsymbol{i} 、 \boldsymbol{j} 、 \boldsymbol{k}$ 变为新坐标轴上的基本单位向量 $\boldsymbol{i}^{\prime} 、 \boldsymbol{j}^{\prime} 、 \boldsymbol{k}^{\prime}$ 。  因此, 点 $P^{\prime}$ 关于新坐标系 $\left\{o x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}\right\}$ 的位置关系恰如点 $P$ 关于旧坐标系 $\{o x y z\}$ 的位置关系,从而有: $$ \overrightarrow{o P^{\prime}}=x^{\prime} \boldsymbol{i}+y^{\prime} \boldsymbol{j}+z^{\prime} \boldsymbol{k}=x \boldsymbol{i}^{\prime}+y \boldsymbol{j}^{\prime}+z \boldsymbol{k}^{\prime} $$ 若令 $x^{\prime} 、 y^{\prime} 、 z^{\prime}$ 关于坐标系 $\{0 x y z\}$ 的方向余弦分别是 $a_1 、 b_1 、 c_1, a_2 、 b_2 、 c_2$ 和 $a_3 、 b_3 、 c_3$,那么坐标系轴的旋转变换为 $$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{i}^{\prime}=a_1 \boldsymbol{i}+b_1 \boldsymbol{j}+c_1 \boldsymbol{k} \\ \boldsymbol{j}^{\prime}=a_2 \boldsymbol{i}+b_2 \boldsymbol{j}+c_2 \boldsymbol{k} \\ \boldsymbol{k}^{\prime}=a_3 \boldsymbol{i}+b_3 \boldsymbol{j}+c_3 \boldsymbol{k} \end{array} \text { 或 } \quad\left(\begin{array}{l} \boldsymbol{i}^{\prime} \\ \boldsymbol{j}^{\prime} \\ \boldsymbol{k}^{\prime} \end{array}\right)=\left[\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right]\left(\begin{array}{l} \boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{j} \\ \boldsymbol{k} \end{array}\right)\right. $$ 下面看看点的坐标 $x^{\prime} 、 y^{\prime} 、 z^{\prime}$ 和 $x 、 y 、 z$ 的变换关系。由于 $$ \begin{aligned} \overrightarrow{o P}=x^{\prime} \boldsymbol{i}+y^{\prime} \boldsymbol{j}+z^{\prime} \boldsymbol{k} & =x \boldsymbol{i}^{\prime}+y \boldsymbol{j}^{\prime}+z \boldsymbol{k}^{\prime} \\ & =x\left(a_1 \boldsymbol{i}+b_1 \boldsymbol{j}+c_1 \boldsymbol{k}\right)+y\left(a_2 \boldsymbol{i}+b_2 \boldsymbol{j}+c_2 \boldsymbol{k}\right)+z\left(a_3 \boldsymbol{i}+b_3 \boldsymbol{j}+c_3 \boldsymbol{k}\right) \\ & =\left(a_1 x+a_2 y+a_3 z\right) \boldsymbol{i}+\left(b_1 x+b_2 y+b_3 z\right) \boldsymbol{j}+\left(c_1 x+c_2 y+c_3 z\right) \boldsymbol{k} \end{aligned} $$ 通过比对等式两边有 $$ \left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=a_1 x+a_2 y+a_3 z \\ y^{\prime}=b_1 x+b_2 y+b_3 z \\ z^{\prime}=c_1 x+c_2 y+c_3 z \end{array} \quad \text { 或 } \quad\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array}\right)=\left[\begin{array}{lll} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array}\right]\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)\right. $$ 式中的点坐标的变换矩阵和坐标轴的变换矩阵 (方向余弦矩阵) 是一对转置矩阵。实际上,我们还有 $$ \left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left[\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right]\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array}\right) $$ 这个实际上就是坐标轴旋转矩阵的坐标表示式。这说明这一对转置矩阵也是一对逆矩阵。坐标的旋转也就是正交变换, 正交矩阵的定义就是逆矩阵等于转置矩阵。 转置矩阵的几何意义 本节我们看到, 在平面或空间的旋转变换中, 空间里元素 (如向量或点) 的旋转矩阵和对应的空间坐标系 (坐标轴) 旋转矩阵既是逆矩阵也是转置矩阵。这有助于我们理解转置矩阵在几何上的意义, 可以简单地认为：空间和空间元素之间的相对旋转运动的几何描述是转置矩阵的几何意义。其实空间和空间元素之间的关系应是一种对偶关系, 在后面的 5.14 .2 节里也会从对偶空间的角度讨论转置矩阵的几何意义。
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