日期: 2023-10-31 07:30 查看: 195 次编辑导出

n 阶行列式

1. $n$ 阶行列式的定义
   由 $n^2$ 个元素 $a_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n)$ 排成 $n$ 行 $n$ 列的正方形的数表:

$$
\begin{array}{cccc}

a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_n
\end{array}
$$

由这个数表所决定的数 $\sum_{p p_2 \cdots p_n}(-1)^{\tau\left(\left(p_1 \cdots \cdots p_n\right)\right.} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$
称为由 $n^2$ 个元素 $a_y(i, j=1,2, \cdots, n)$ 构成的 $n$ 阶行列式，

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010281bdc3f.png)
记矩阵

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right),
$$

则行列式通常也称为方阵 $A$ 的行列式，记为 $|A|$.
有时为了表明行列式是由元素 $a_{i j}$ 构成的，也简记为 $|A|=\operatorname{det}\left(a_{i j}\right) 、\left|a_{i j}\right|_{n \times n}$ 或 $\left|a_{i j}\right|_n$.

![图片](/uploads/2023-01/image_20230102650ddcf.png)

2. 二、三阶行列式
   当 $n=2$ 时，由方阵 $\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)$ 所确定的二阶行列式为:

$$
\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=\sum_{p_1 p_2}(-1)^{\tau\left(p_1 p_2\right)} a_{1 p_1} a_{2 p_2}=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} .
$$

二阶行列式也可借助于对角线法则来记忆:

![图片](/uploads/2023-01/image_202301024690155.png)

当 $n=3$ 时，三阶方阵 $A=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ 所确定的三阶行列式为:

$$
|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=\sum_{p_1 p_2 p_3}(-1)^{\tau\left(\left(p_1 p_2 p_3\right)\right.} a_{1 p_2} a_{2 p_2} a_{3 p_3}=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{13} a_{21} a_{32}+a_{12} a_{23} a_{31}-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{11} a_{23} a_{32} \text {. }
$$

也可以按 "对角线" 法则计算三阶行列式:

![图片](/uploads/2023-01/image_202301027822b21.png)
注：四阶及更高阶的行列式不再使用对角线法则

![图片](/uploads/2023-01/image_202301026a022b2.png)
例1 证明 $a_{52} a_{16} a_{41} a_{64} a_{23} a_{35}$ 是 6 阶行列式 $D_6=\left|a_{i j}\right|_{666}$ 的一项，并求这项应带的符号.
证明 调换 $a_{52} a_{16} a_{41} a_{64} a_{23} a_{35}$ 中元素的位置，使得调换后的乘积中元素的行标是标准序， 即 $a_{52} a_{16} a_{41} a_{64} a_{23} a_{35}=a_{16} a_{23} a_{35} a_{41} a_{52} a_{64}$,
这时，乘积中元素的列标排列为 635124 ，是一个 6 阶全排列，
因而 $a_{52} a_{16} a_{41} a_{64} a_{23} a_{35}$ 是位于 $D_6=\left|a_{i j}\right|_{6 \times 6}$ 的不同行、不同列的 6 个元素的乘积，
因此是这个 6 阶行列式的一项. 由于 $\tau(635124)=10$ ， 所以这项前面带正号.

上一篇：排列及其逆序数

下一篇：二阶行列式的几何意义

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0) 赞助我们

0 篇笔记写笔记

更多笔记