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线性代数
第一篇 方阵的行列式
上三角方阵与下三角方阵
日期:
2024-01-12 16:11
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上三角方阵与下三角方阵
**下三角方阵定义** 主对角线上方全为零元素，这样的行列式称为下三角行列式 例1 计算下三角方阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & c_{2 n} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n & a_{n 2} & \cdots & a_m\end{array}\right)$ 的行列式 $|A|$ 解：根据行列式的定义 $$ |\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\sum_{p_1 p_2 \cdots p_n}(-1)^{\tau\left(p p_2 \cdots p_n\right)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n} $$ 该行列式中有较多的元素为零。要使得乘积项 $a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{np_ n}$ 不等于零，元素 $a_{1p}$ 只能取 $a_{11}$ ；元素 $a_{2 p_2}$ 只能取 $a_{22} ； \cdots \cdots$ ；元素 $a_{np_i}$ 只能取 $a_{nn}$ ， 从而行列式的展开式中只有 $a_{11} a_{22} \ldots a_{mm}$ 这一项可能不是零，其它项全为零. 而 $a_{11} a_{22} \cdots a_{mm}$ 的列标是标准排列，逆序数为零，所以 $|A|=a_{11} a_{22} \cdots a_{mm}$. 下三角形行列式的值等于主对角线上 $n$ 个元素的乘积, 而与主对角线下方的元素无关. $$ \text { 例3 计算上三角方阵 } A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_1 & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_2 & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_m \end{array}\right) \text { 的行列式 }|A| \text { (这样的行列式称为上三角行列式) . } $$ 要使得乘积项 $a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 不等于零，元素 $a_{n p_n}$ 只能取 $a_{n n}$; 元素 $a_{n-1, p_{n-1}}$ 只能取 $a_{n-1, n-1}$; ；元素 $a_{1P_1}$ 只能取 $a_{11}$ 。 于是行列式的展开式中只有 $a_{11} a_{22} \cdots a_m$ 这一项可能不是零， 其它项全为零. 而 $a_{11} a_{22} \cdots a_m$ 的列标是标准排列，逆序数为零，所以  对角矩阵 由于对角矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}a_{12} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_m\end{array}\right)$ 既是上三角同时也是下三角方阵， 所以 $$ \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n} $$ 对角矩阵的行列式称为对角行列式.  ## 3.4 行列式化为对角形的几何解释 一个行列式第 $i$ 行加上 $j$ 行的 $k$ 倍, 可以使第 $i$ 行的某一个元素变为 0 , 而这个行列式的值不变。这个性质在化简行列式时非常有用。在前面的二阶和三阶行列式的性质中我们也已看到了它的几何意义。不过前面对它的几何解释一般都是使用向量的 “箭头” 的图形形式给出的,没有考虑向量的元素的变化的几何意义。本节我们就此性质的应用来探究行列式中每一个元素的几何意义。 把一般二阶行列式化为上三角形式的行列式, 只要把行列式左下角元素即第二行第一列化为 0 就行了。因此, 第一行向量元素 $\left(a_1, a_2\right)$ 乘以 $-\frac{b_1}{a_1}$ (设 $\left.a_1 \neq 0\right)$ 后加到第二行上, 即可得到如下的三角式: $$ \left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ 0 & \frac{a_1 b_2-a_2 b_1}{a_1} \end{array}\right| $$ 继续化简, 把第二行的元素 $\left(0, \frac{a_1 b_2-a_2 b_1}{a_1}\right)$. 乘以 $-\frac{a_1 a_2}{a_1 b_2-a_2 b_1}$ 后加到第一行上, 得到如下的对角形行列式: $$ \left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} a_1 & 0 \\ 0 & \frac{a_1 b_2-a_2 b_1}{a_1} \end{array}\right| $$ 这个化简的过程我们可以有一个很形象的几何变化过程, 如表 3-1 所示。  三阶行列式有类似的变换情形, 对角化的过程会把一个平行六面体变化为一个等体积的立方体或长方体。具体的图形不再绘出。 那么 $n$ 阶行列式我们亦不怀疑地认为也可以被表示成一个 $n$ 维的长方体的几何图形。这个结论对于我们理解行列式的展开式很有帮助。
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三阶行列式的几何意义
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