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线性代数
第三篇 向量空间与线性方程组解
向量组的线性相关与线性无关
日期:
2023-11-07 09:38
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向量组的线性相关与线性无关
## 记忆技巧 本节将进入线性相关与线性无关的章节，其特点是定理多，如何记忆？这里可以 用疫情进行记忆，在班级里，如果一个学生感染了新冠病毒，那么班级就会封班，进而学校就会封校，进而整个城市就会封市。 同样的一组线性关系，如果里面部分线性相关（感染病毒了），那么整个就都线性相关。 **定义** 设有 $m$ 个 $n$ 维向量构成的向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 如果存在一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ 使得 $$ k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0} $$ 则称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关；若当且仅当 $k_1=k_2=\cdots=k_m=0$ 时，才有 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$, 则称向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关.   特别地， 01. 当向量组只含有一个向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 时，若 $\boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0}$ ，则只有 $k=0$ 时才有 $k \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ 所以 $\boldsymbol{\alpha}$ 线性无关； 02 若 $\alpha=\mathbf{0}$ ，则对任意非零常数 $k$ ，都有 $k \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ ，所以 $\boldsymbol{\alpha}$ 线性相关. 例 2 证明: 任一含有零向量的向量组必定线性相关. 证 明 设向量组 $A: \mathbf{0}, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots \boldsymbol{\alpha}_m$ 是任一含有零向量的 $n$ 维向量组，于是对任意非零常 数 $k$ ，都有 $$ k \mathbf{0}+0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_1+0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0} $$ 所以向量组 $A: \mathbf{0}, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性相关. 例 3 设有向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)$, 判断向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的线性相关性. 按照向量组线性相关和线性无关的定义，我们只需验证使得等式 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+k_3 \boldsymbol{\alpha}_3=\mathbf{0}$ 成立的一组数 $k_1, k_2, k_3$ 是不全为零还是全为零. 将等式 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+k_3 \boldsymbol{\alpha}_3=\mathbf{0}$ 改写为: $$ \left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{l} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{array}\right)=\mathbf{0} \text {, 即 }\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{array}\right)=\mathbf{0} $$ 于是，问题转化为齐次线性方程组 $$ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\mathbf{0} $$ 是有非零解, 还是只有零解. 如果只有零解，则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关， 若有非零解，则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关. 由于 $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right|=0$, 方程组有非零解，所以 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关.  定理1 $m$ 个 $n$ 维向量构成的向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 $$ k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_m \alpha_m=\mathbf{0} $$ 有非零解； 线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解 $$ k_1=k_2=\cdots=k_m=0 $$ 已知齐次线性方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_1 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_1 \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$ ，将系数矩阵 $A=\left(\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right)$ 实施初等行 变换化为矩阵 $B=\left(\beta_1 \beta_2, \cdots, \beta_n\right)$ ，则齐次线性方程组 $x_1 \beta_1+x_2 \beta_2+\cdots+x_n \beta_m=0$ 与齐次线性方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_1 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_1 \boldsymbol{\alpha}_m=0$ 是同解线性方程组，从而向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 与向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m$ 具有相同的线性相关性. 若矩阵 $\boldsymbol{A} {r}\boldsymbol{B}$ ，则矩阵 $A$ 的列向量组与矩阵 $B$ 的列向量组有相同的线性相关性. 若矩阵 $A {c}B$ ，则矩阵 $A$ 的行向量组与矩阵 $B$ 的行向量组有相同的线性相关性.
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