最后更新: 2025-03-11 10:35 查看: 539 次反馈刷题

矩阵相似

## 矩阵相似
### 定义1
设 $A, B$ 都是 $n$ 阶矩阵, 若有可逆矩阵 $P$, 使

$$
\boxed{
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B} 
}
$$

则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵, 或者说矩阵 $A$ 与 $B$ 相似. 对 $A$ 进行运算 $P^{-1} A P$ 称为对$\boldsymbol{A}$ 进行相似变换。
可逆矩阵 $P$ 称为把 $\boldsymbol{A}$ 变成 $\boldsymbol{B}$ 的相似**变换矩阵**.

### 定理 1
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征多项式，从而 $A$ 与 $B$ 有相同的特征值.
证明 因 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，即有可逆矩阵 $P$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$, 故

$$
|\boldsymbol{B}-\lambda \boldsymbol{E}|=\left|\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}-\boldsymbol{P}^{-1}(\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P}\right|=\left|\boldsymbol{P}^{-1}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P}\right|=\left|\boldsymbol{P}^{-1}\right| \cdot|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}| \cdot|\boldsymbol{P}|=|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}| .
$$

### 推论 
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角阵

$$
\Lambda=\left(\begin{array}{llll}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& \ddots & \\
& & \lambda_n
\end{array}\right)
$$

相似,则 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 即是 $A$ 的 $n$ 个特征值.
证明:若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，即 $P^{-1} A P=B$ ，则 $A^k=\left(P B P^{-1}\right)^k=P B^k P^{-1}$ ，并且 $A$ 的多项式

$$
\begin{aligned}
& \varphi(A)=a_m A^m+\cdots+a_1 A+a_0 E=a_m\left(P B P^{-1}\right)^m+\cdots+a_1\left(P B P^{-1}\right)+a_0 E=a_m\left(P B^m P^{-1}\right)+\cdots+a_1\left(P B P^{-1}\right)+a_0 E \\
&=P\left(a_m B^m\right) P^{-1}+\cdots+P\left(a_1 B\right) P^{-1}+P\left(a_0 E\right) P^{-1}=P\left(a_m B^m+\cdots+a_1 B+a_0 E\right)
\end{aligned}
$$

> 特别地，若有可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P=\Lambda$ 为对角阵，则$A^k=P \Lambda^k P^{-1}, \varphi(A)=P\varphi(\Lambda) P^{-1}$

而对于对角阵 $\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right)$ ，有

$$
\boldsymbol{\Lambda}^k=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda_1^k & & & \\
& \lambda_2^k & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n^k
\end{array}\right), \quad \varphi(\boldsymbol{\Lambda})=\left(\begin{array}{llll}
\varphi\left(\lambda_1\right) & & & \\
& \varphi\left(\lambda_2\right) & & \\
& & \ddots & \\
& & & \varphi\left(\lambda_n\right)
\end{array}\right) \text {, }
$$

由此可方便地计算 ${\boldsymbol{A}}$ 的高次幕 $\boldsymbol{A}^{\bar{k}}$ 及 $\boldsymbol{A}$ 的多项式 $\bar{\varphi}({\boldsymbol{A}})$.

### 推广
设 $f(\lambda)$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式,则

$$
f(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{O} .
$$

这个结论的证明比较困难，但若 $A$ 与对角阵相似，则容易证明此结论.
这是因为: 若 $A$ 与对角阵相似，即有可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P=\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right)$ ，其中 $\lambda_i$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，有 $f\left(\lambda_i\right)=0$.
于是由上面的讨论可得:

$$
f(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{P} f(\boldsymbol{\Lambda}) \boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{llll}
f\left(\lambda_1\right) & & & \\
& f\left(\lambda_2\right) & & \\
& & \ddots & \\
& & & f\left(\lambda_n\right)
\end{array}\right) \boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{O} \boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{O} .
$$

## 矩阵相似的性质

**1．相似矩阵的行列式相同**

若 $A$ 和 $B$ 相似，则：$A$ 和 $B$ 的行列式值相同；
$\operatorname{Det}(A)=\operatorname{Det}(B)$ ，也记作：$|A|=|B|$ 。

**2．相似矩阵的特征值相同**

若 $A$ 和 $B$ 相似，则：$A$ 和 $B$ 的特征方程相同；

$$
|A-\lambda E|=0 \Leftrightarrow|B-\lambda E|=0
$$

这意味着：$A$ 和 $B$ 的特征值（特征根）相同。

注意：特征值相同，不意味着对应的特征向量相同

**3．相似矩阵的秩相同**

若 $A$ 和 $B$ 相似，则：$A$ 和 $B$ 的秩相同。
$r(A)=r(B)$

**4．相似矩阵的迹相同**

若A和B相似，则：$A$ 和 $B$ 的迹相同；

矩阵（方阵）的迹为主对角线元素之和；
$\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(B)$

**5．相似矩阵的可逆性相同**
若A和B相似，则：A和B的可逆性相同；

若 $A$ 可逆，则 $B$ 也可逆。若 $B$ 可逆，则 $A$ 也可逆；
若 $A$ 不可逆，则 $B$ 也不可逆。若 $B$ 不可逆，则 $A$ 也不可逆。

**6．相似矩阵的可对角化性相同**
如果矩阵A可对角化，那么和它相似的所有矩阵也都可以对角化。

**7．相似的传递性**
若 $A$ 相似于 $B$ ，而 $B$ 相似于 $C$ ，则 $A$ 相似于 $C$ 。

> 相似矩阵代表同一个线性变换在不同基下的表示，具体解释请参考下一节 [矩阵相似的几何意义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2597)

## 例题

`例`已知矩阵 $A =\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 2 & x & 2 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right]$ 与 $B =\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{array}\right]$ 相似，求 $x$ 与 $y$ 的值．

解 由题意， $A$ 与 $B$ 相似，相似矩阵有相同的特征多项式．我们可由此来求解：

$$
\begin{aligned}
|\lambda I - A |= & \left|\begin{array}{ccc}
\lambda+2 & 0 & 0 \\
-2 & \lambda-x & -2 \\
-3 & -1 & \lambda-1
\end{array}\right|=(\lambda+2)[(\lambda-x)(\lambda-1)-2] \\
= & (\lambda+2)\left[\lambda^2-(x+1) \lambda+(x-2)\right], \\
& |\lambda I - B |=(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda-y),
\end{aligned}
$$

即

$$
(\lambda+2)\left[\lambda^2-(x+1) \lambda+(x-2)\right]=(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda-y) .
$$

比较两边同次幂的系数，可求出 $x=0, y=-2$ ．

`例`已知二阶方阵 $A$ 的两个特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=2$ ，其对应的特征向量分别为 $x_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right], x_2=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right]$ ，试求 $A^{2014}$ ．

解：由 $A x_1=\lambda_1 x_1, A x_2=\lambda_2 x_2$ ，可知

$$
A\left[\begin{array}{ll}
x_1 & x_2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
x_1 & x_2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
\lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_2
\end{array}\right]
$$

因此可知 $A=\left[\begin{array}{ll}x_1 & x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}x_1 & x_2\end{array}\right]^{-1}$ ，

$$
\begin{aligned}
& A^{2014}=\left[\begin{array}{ll}
x_1 & x_2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
\lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_2
\end{array}\right]^{2014}\left[\begin{array}{ll}
x_1 & x_2
\end{array}\right]^{-1} \\
&= {\left[\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 2^{2014}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
\frac{1}{2}+2^{2013} & \frac{1}{2}-2^{2013} \\
\frac{1}{2}-2^{2013} & \frac{1}{2}+2^{2013}
\end{array}\right] }
\end{aligned}
$$

`例`已知 $\xi =[1,1,-1]^{ T }$ 是矩阵 $A =\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{array}\right]$ 的一个特征向量．
  （1）确定参数 $a, b$ 及 $\xi$ 对应的特征值 $\lambda$ ；
（2） $A$ 是否相似于对角矩阵？说明理由．

解（1）设 $A$ 的特征向量 $\xi$ 所对应的特征值为 $\lambda$ ，则有 $A \xi =\lambda \xi$ ，即

$$
\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 2 \\
5 & a & 3 \\
-1 & b & -2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right]=\lambda\left[\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right]
$$

即

$$
\left\{\begin{array}{l}
2-1-2=\lambda, \\
5+a-3=\lambda, \\
-1+b+2=-\lambda,
\end{array}\right.
$$

解得 $\lambda=-1, a=-3, b=0$ ．
（2）当 $a=-3, b=0$ 时，令

$$
|\lambda E - A |=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-2 & 1 & -2 \\
-5 & \lambda+3 & -3 \\
1 & 0 & \lambda+2
\end{array}\right|=(\lambda+1)^3=0
$$

可知 $\lambda=-1$ 是 $A$ 的三重特征值，但

$$
- E - A =\left[\begin{array}{ccc}
-3 & 1 & -2 \\
-5 & 2 & -3 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right], \quad r(- E - A )=2
$$

当 $\lambda=-1$ 时，对应的线性无关特征向量只有一个，因此 $A$ 不能相似于对角矩阵．

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