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线性代数
第四篇 相似矩阵及二次型
用正交变换化二次型为标准形
日期:
2023-10-01 11:28
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用正交变换化二次型为标准形
定义 2 设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵,若有可逆矩阵 $C$ ,使 $B=C^{\mathrm{T}} A C$ ,则称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同. 矩阵间的合同关系是一个等价关系,满足 (1)反身性:每一个方阵都与它自身合同. 这是因为 $A=E^{\mathrm{T}} A E$. (2)对称性: 如果 $A$ 与 $B$ 合同,则 $B$ 与 $A$ 也合同. 这是因为由 $B=C^{\mathrm{T}} A C$ 及矩阵 $C$ 可逆可 得 $A=P^{\mathrm{T}} B P$ ,其中 $P=C^{-1}$. (3)传递性: 如果 $A$ 与 $B$ 合同, $B$ 与 $C$ 合同,则 $A$ 与 $C$ 也合同. 这是因为由 $B=P^{\mathrm{T}} A P$ 及 $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{Q}$ 可得 $\boldsymbol{C}=(\boldsymbol{P} \boldsymbol{Q})^{\mathrm{T}} A(\boldsymbol{P Q})$. 定理 任给二次型 $f=\sum_{i, j=1}^n a_i x_i x_j\left(a_{i j}=a_{j i}\right)$ ,总有正交变换 $x=P y$ ,使 $f$ 化为标准形 $$ f=\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\cdots+\lambda_n y_n^2, $$ 其中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $f$ 的矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 的特征值. ![图片](/uploads/2023-01/image_202301020597911.png) ![图片](/uploads/2023-01/image_20230102799d3c5.png) ![图片](/uploads/2023-01/image_20230102f2cffb6.png) ![图片](/uploads/2023-01/image_20230102ccb7409.png) 如果要把二次型 $f$ 化成规范形,只需令 $$ \left\{\begin{array}{l} y_1=\frac{1}{2} z_1, \\ y_2=z_2, \\ y_3=z_3, \end{array}\right. $$ 即得 $f$ 的规范形 $$ f=z_1^2+z_2^2+z_3^2 . $$
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