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线性代数
第五篇 线性空间与线性变换
线性空间的性质
日期:
2024-01-12 16:51
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线性空间的性质
性质 1 零元素是唯一的. 证明 设 $0_1, 0_2$ 是线性空间 $V$ 中的两个零元素，即对任何 $\alpha \in V$ ，有 $\alpha+0_1=\alpha, \alpha+0_2=\alpha$ ， 于是有 $$ \mathbf{0}_2+\mathbf{0}_1=\mathbf{0}_2, \mathbf{0}_1+\mathbf{0}_2=\mathbf{0}_1 $$ 所以 $$ \mathbf{0}_1=\mathbf{0}_1+\mathbf{0}_2=\mathbf{0}_2+\mathbf{0}_1=\mathbf{0}_2 $$ 性质 2 任一元素的负元素是唯一的 (以后将 $\boldsymbol{\alpha}$ 的负元素记作 $-\boldsymbol{\alpha}$ ) . 证明 设 $\boldsymbol{\alpha}$ 有两个负元素 $\beta, \gamma$ ，即 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}, \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\gamma}=\mathbf{0}$. 于是 $$ \beta=\beta+0=\beta+(\alpha+\gamma)=(\beta+\alpha)+\gamma=0+\gamma=\gamma . $$ 性质3 $0 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} ;(-1) \boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha} ; \lambda \mathbf{0}=\mathbf{0}$. 证明 $\boldsymbol{\alpha}+0 \boldsymbol{\alpha}=1 \boldsymbol{\alpha}+0 \boldsymbol{\alpha}=(1+0) \boldsymbol{\alpha}=1 \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$ ，所以 $0 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} ， \boldsymbol{\alpha}+(-1) \boldsymbol{\alpha}=1 \boldsymbol{\alpha}+(-1) \boldsymbol{\alpha}=[1+(-1)] \boldsymbol{\alpha}=0 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$, 所以 $(-1) \boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha}$ ； $$ \lambda \mathbf{0}=\lambda[\boldsymbol{\alpha}+(-1) \boldsymbol{\alpha}]=\lambda \boldsymbol{\alpha}+(-\lambda) \boldsymbol{\alpha}=[\lambda+(-\lambda)] \boldsymbol{\alpha}=0 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} \text {. } $$ 性质 4 如果 $\lambda \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ ，则 $\lambda=0$ 或 $\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$. 证明 若 $\lambda \neq 0$ ，在 $\lambda \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ 两边乘 $\frac{1}{\lambda}$, 得 而 $$ \begin{gathered} \frac{1}{\lambda}(\lambda \boldsymbol{\alpha})=\frac{1}{\lambda} \boldsymbol{0}=\mathbf{0}, \\ \frac{1}{\lambda}(\lambda \boldsymbol{\alpha})=\left(\frac{1}{\lambda} \lambda\right) \boldsymbol{\alpha}=1 \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}, \end{gathered} $$ 所以 $\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$. ## 4. 1.2 向量组线性相关的几何意义 如果一个向量可以由一个向量组线性表示, 我们就称这个向量和向量组线性相关。另外的说法就是, 一个向量组里只要有一个向量可以由组内其他向量线性表示, 我们就称这个向量组线性相关。反之, 如果向量组里的任意一个向量都不能由其他向量线性表示, 我们就称向量组线性无关。 图 4-2 中线性相关的平面向量组例举如下: $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 线性相关，因为 $\boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3$; $\left\{\alpha_4, \alpha_5\right\},\left\{\alpha_4, \alpha_7\right\},\left\{\alpha_5, \alpha_7\right\}$ 都线性相关, 因为 $\alpha_5=2 \alpha_4=-2 \alpha_7$; $\left\{\alpha_2, \alpha_6, \alpha_7\right\}$ 线性相关, 因为 $\alpha_6=-\frac{2}{3} \alpha_2-\frac{1}{2} \alpha_7$; ...... 仔细琢磨, 我们就会发现一些规律, 就是在二维平面上: - 如果两个向量线性相关, 那么这两个向量必然在一条直线上 (估计这也是 “线性相关”术语的由来), 两个向量的方向或者相同或者相反; 反之也成立, 例如向量 $\alpha_4 、 \alpha_5 、 \alpha_7$ 在一条直线上, 因此两两相关。 解释: 因为在一条直线上的所有向量中的两个向量都具有 $x$ 倍数的关系, 即 $\boldsymbol{\beta}=x \boldsymbol{\alpha}$, 所有向量都线性相关。 - 不在一条直线上的任意两个向量一定线性无关, 如向量 $\alpha_1 、 \alpha_2 、 \alpha_3 、 \alpha_4\left(\right.$ 或 $\alpha_5$ 或 $\left.\alpha_7\right) 、 a_6$两两线性无关。 解释: 因为一个向量必然不能被另外一个向量线性表示。如果一个向量能够被另外一个向量线性表示, 即 $\boldsymbol{\beta}=x \boldsymbol{\alpha}$, 那么这两个向量就是 $x$ 倍数的关系, 就会在一条直线上。这与命题的前提矛盾。 - 在二维平面空间上, 任意三个向量必然相关, 如 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\},\left\{\alpha_2, \alpha_6, \alpha_7\right\}$ 等。当然, 三个以上的向量也必然线性相关。 解释: 我们看看任意一个三向量 $\{\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}\}$, 如果其中任意两个如 $\alpha 、 \beta$ 线性相关, 不用说这个三向量的向量组也线性相关; 下一步我们设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 线性无关, 看看为什么这个三向量的向量组就线性相关了呢? 如图 4-5 所示, 我们随意画出不在一条直线上的两个向量 $\boldsymbol{\alpha} 、 \boldsymbol{\beta}$, 分别作出过此两个向量的直线 (图中虚线所示); 然后过第三个向量 $\gamma$ 的头部点分别作 $\boldsymbol{\alpha} 、 \boldsymbol{\beta}$ 的平行线 (作投影), 且交 $\boldsymbol{\alpha} 、 \boldsymbol{\beta}$ 直线的交点为 $\left(x_1, x_2\right)$ 。至此，我们构造出了向量 $\boldsymbol{\gamma}$ 的分解式 $\gamma=x_1 \boldsymbol{\alpha}+x_2 \boldsymbol{\beta}$ 。  改变向量 $\gamma$ 的位置, 如图 4-6 所示, 我们可得到同样的表达式, 只是 $x_1 、 x_2$ 的值不同罢了。注意这里 $x_1 、 x_2$ 的值分别是投影分量和 $\boldsymbol{\alpha} 、 \boldsymbol{\beta}$ 的比值, 或称为坐标值, 这个 4.2 .3 节有详细讲解。  这个分解式就是线性表示式。因此 $\{\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}\}$ 线性相关 (再强调一下, 此命题在二维向量空间中成立)。 对于通常的三维空间的向量, 线性相关和线性无关也有直观的几何意义。先考察三维空间中两个向量的线性关系。由定义, 它们线性相关是说其中一个是另一个的线性组合, 即只与另一个向量相差一个常数因子。这就是说, 这两个向量落在同一条直线上, 方向相同或者方向相反。反之, 如果两个向量落在空间里同一条直线上, 那么它们就线性相关。两个向量线性无关则说这两个向量不平行, 不能平移地搬到同一条直线上去。 现在来考察三维空间中三个向量 $\boldsymbol{\alpha} 、 \boldsymbol{\beta} 、 \boldsymbol{\gamma}$ 的线性关系 (如图 4-7 所示)。  设向量 $\boldsymbol{\alpha} 、 \boldsymbol{\beta} 、 \boldsymbol{\gamma}$ 线性无关。那么就有 $\boldsymbol{\alpha} 、 \boldsymbol{\beta} 、 \boldsymbol{\gamma}$ 两两线性无关，任意假设 $\boldsymbol{\alpha} 、 \boldsymbol{\beta}$ 线性无关，则说明 $\boldsymbol{\alpha} 、 \boldsymbol{\beta}$ 不在同一条直线上, 这两个向量所在的两根相交直线构成了一个平面（或者讲 $\boldsymbol{\alpha} 、 \boldsymbol{\beta}$ 张成的平面), 这个平面上的所有向量是 $x_1 \alpha+x_2 \beta$ ( $x_1 、 x_2$ 为任意实数)。 既然 $\boldsymbol{\alpha} 、 \boldsymbol{\beta} 、 \boldsymbol{\gamma}$ 线性无关, 那么就没有 $x_1 \boldsymbol{\alpha}+x_2 \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\gamma}$ 的可能。也就是说向量 $\gamma$ 必然不在这个平面上, 而是在这个平面之外。 实际上, 这三个向量中任意一个向量都不在其余两个向量所张成的平面内 (见图 4-8), 如果用这三个三维向量构成一个三阶行列式, 那么必然张成一个平行六面体, 同时行列式的值不等于零。  如果设向量 $\alpha 、 \beta 、 \gamma$ 线性相关, 这里有两种情况: 一种情况是三个向量在一个平面上 (三向量共面)。正如前面讨论三个向量线性无关的情况相反。任意地，如果 $\boldsymbol{\alpha} 、 \boldsymbol{\beta}$ 不相关，那么 $\boldsymbol{\alpha} 、 \boldsymbol{\beta}$ 会张成一个平面 $\left\{x_1 \boldsymbol{\alpha}+x_2 \boldsymbol{\beta}\right\}$; 又因为 $\boldsymbol{\alpha} 、 \boldsymbol{\beta} 、 \boldsymbol{\gamma}$ 线性相关, 则必有 $\gamma$ 落在这个平面上满足 $x_1 \boldsymbol{\alpha}+x_2 \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\gamma}$ ( $x_1 、 x_2$ 因 $\boldsymbol{\gamma}$ 的不同而不同), 见图 4-9 (a)。如果 $\gamma$ 不落在这个平面上，会得到 $\alpha 、 \beta 、 \gamma$ 线性无关的矛盾。  如果 $\boldsymbol{\alpha} 、 \boldsymbol{\beta}$ 线性相关，但第三个向量 $\gamma$ 与 $\boldsymbol{\alpha}$ (或 $\boldsymbol{\beta}$ ) 线性无关, 则也会有一个平面张出来,仍然会得到三个向量共面的情况, 见图 4-9 (b)。 另一种情况是三个向量在一条直线（共线）上。继续前面的讨论, 如果 $\alpha 、 \beta$ 线性相关, 第三个向量 $\boldsymbol{\gamma}$ 也与 $\boldsymbol{\alpha}$ (或 $\boldsymbol{\beta}$ ) 线性相关。那么三个向量会无意外地落在同一条直线上, 如图 4-10 所示。 
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